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On pourra toujours prendre $u$ assez grand pour que cette probabilité $\mathrm {R}$ diffère aussi peu qu’on voudra de la certitude. Il ne sera pas même nécessaire de donner à à $u$ une grande valeur pour rendre très petite la différence ${1-\mathrm {R} }$ : il suffira, par exemple de prendre $u$ égal à quatre ou cinq, pour que l’exponentielle $e^{-u^{2}}$, l’intégrale ${\textstyle \int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt}$, et par suite la valeur de ${1-\mathrm {R} }$, soient presque insensibles. La quantité $u$ ayant reçu une pareille valeur et demeurant constante, les limites de la différence ${{\tfrac {m}{\mu }}-p}$ se resserreront de plus en plus à mesure que le nombre $\mu$, qu’on suppose déjà très grand, augmentera encore davantage ; le rapport ${\tfrac {m}{\mu }}$ du nombre de fois que E arrivera au nombre total des épreuves, différera donc de moins en moins de la chance $p$ de cet événement ; et l’on pourra toujours multiplier assez le nombre $\mu$ des épreuves, pour qu’il y ait la probabilité $\mathrm {R}$ que la différence ${{\tfrac {m}{\mu }}-p}$ sera aussi petite qu’on voudra. Réciproquement, en augmentant continuellement le nombre $\mu$, si l’on prend pour chacune des limites précédentes, une grandeur constante et donnée $l$, c’est-à-dire, si l’on fait croître $u$ dans le même rapport que ${\sqrt {\mu }}$, la valeur de $\mathrm {R}$ approchera indéfiniment de l’unité ; en sorte qu’on pourra toujours augmenter assez le nombre $\mu$ des épreuves, pour qu’il y ait une probabilité aussi peu différente qu’on voudra de la certitude, que la différence ${{\tfrac {m}{\mu }}-p}$ tombera entre les limites données ${\pm l}$. C’est en cela que consiste le théorème de Jacques Bernouilli, énoncé dans le n^o 49.

(81). Dans le calcul précédent, nous avons exclu (n^o 78) le cas où l’une des deux chances $p$ et $q$ est très petite, qui nous reste, en conséquence, à considérer en particulier.

Je suppose que $q$ soit une très petite fraction, ou que ce soit l’événement F qui ait une très faible probabilité. Dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves, le rapport ${\tfrac {n}{\mu }}$ du nombre de fois que F arrivera à ce nombre $\mu$ sera aussi une très petite fraction ; en mettant ${\mu -n}$ a la place de $m$ dans la formule (9), faisant

$q\mu =\omega$,$q={\frac {\omega }{\mu }}$,