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rence $\mathrm {P-U}$ sera la probabilité que $n$ n’atteindra pas cette même limite. De même, si l’on fait ${u'=r'}$ dans la valeur de $\mathrm {U}$ et qu’on la retranche ensuite de la seconde valeur de $\mathrm {P}$ du numéro précédent, la différence $\mathrm {P-U}$ sera la probabilité que $n$ sera au-dessous de la limite ${\mu q+r'{\sqrt {2\mu pq}}}$. En appelant $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {Q'}$ ces différences, on trouve

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {Q} ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}&\int _{r+\delta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {q-p}{3{\sqrt {2\pi \mu pq}}}}e^{-r^{2}},\\\mathrm {Q'} =1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}&\int _{r'-\delta '}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {q-p}{3{\sqrt {2\pi \mu pq}}}}e^{-r'^{2}}.\end{aligned}}\right\rbrace$

(18)

On se rappellera que, dans ces formules, $r$ et $r'$ sont des quantités positives, très petites par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$ ; en sorte que les limites de $n$ auxquelles ces probabilités $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {Q'}$ se rapportent diffèrent peu du produit $\mu q$, l’une en plus et l’autre en moins. En même temps, les valeurs des quantités $\delta$ et $\delta '$ qu’elles renferment, seront très petites par rapport à $r$ et $r'$ ; et si l’on y met $\mu$ à la place de ${\mu +1}$, on aura

$\delta ={\frac {(p-q)\,r^{2}}{3{\sqrt {2\pi \mu pq}}}}$,$\delta '={\frac {(p-q)\,r'^{2}}{3{\sqrt {2\pi \mu pq}}}}$.

(80). En divisant par $\mu$ les limites de $n$ auxquelles se rapporte la formule (17), et ayant égard à ce que $\mathrm {U}$ représente, on aura ${\textstyle q-{\frac {f}{\mu }}\mp {\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}}$ pour les limites du rapport ${\tfrac {n}{\mu }}$, dont la probabilité est $\mathrm {R}$. Si donc, on néglige la fraction ${\tfrac {f}{\mu }}$, il en résultera que cette quantité $\mathrm {R}$, déterminée par la formule (17), est la probabilité que la différence ${{\tfrac {n}{\mu }}-q}$, se trouvera comprise entre les deux limites

$\mp \,u\,{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}$,

qui seront aussi, en changeant leurs signes, avec la même probabilité, celles de la différence ${{\tfrac {m}{\mu }}-p}$, puisque la somme ${{\tfrac {m+n}{\mu }}-p-q}$ de ces deux différences, est égale à zéro.