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désignant par $v$ une quantité quelconque de cet ordre, dont on négligera le carré, on a

$\int _{u+v}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt-ve^{-u^{2}}$ ;

si donc on applique cette équation aux deux intégrales contenues dans la formule (16), et si l’on fait ${r'=r}$, dans les termes compris hors du signe $\textstyle \int$, qui sont déjà divisés par $\textstyle {\sqrt {\mu }}$, il en résultera

$\mathrm {R} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \mu pq}}}e^{-u^{2}}$,

(17)

où l’on a aussi mis, dans le dernier terme, $\mu$ au lieu de ${\mu +1}$.

Si l’on eût voulu que l’intervalle des valeurs de $n$ dont la probabilité est $\mathrm {R}$, ne comprît pas sa limite inférieure, il aurait fallu augmenter d’une unité la plus petite des deux valeurs précédentes de $n$ ; ce qui aurait fait disparaître le dernier terme ${\tfrac {1}{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}$ de la valeur de ${r+\delta }$, et, par suite, le dernier terme de la formule (17). De même, pour que cet intervalle ne comprît pas sa limite supérieure, on aurait dû diminuer d’une unité la plus grande de ces deux valeurs de $n$ ; ce qui aurait diminué de ${\tfrac {1}{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}$ la valeur de ${r'-\delta '}$, et encore fait disparaître le dernier terme de cette formule (17). Enfin, on devrait changer le signe de ce terme, si l’on voulait que l’intervalle des valeurs de $n$ que nous considérons ne renfermât ni l’une, ni l’autre, de ses deux limites. Il suit de là que le dernier terme de la formule (17) doit être la probabilité que l’on ait précisément

$n=\mathrm {N} +u\,{\sqrt {2\mu pq}}$ ;

$u$ étant une quantité positive ou négative, telle que le second terme de $n$ soit très petit par rapport au premier. C’est aussi ce qui résulte de la formule (6).

En effet, en négligeant les quantités de l’ordre de petitesse de la