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appelle $\mathrm {R}$ la différence, il vient

${\begin{aligned}\mathrm {R} =1&{}-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{r+\delta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{r'-\delta '}^{\infty }e^{-t^{2}}dt\\&{}+{\frac {(1+q){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi \mu pq}}}}(e^{-r'^{2}}-e^{-r^{2}})\;;\end{aligned}}$

(16)

et d’après la signification de ces deux probabilités $\mathrm {P}$, il est aisé de voir que $\mathrm {R}$ sera la probabilité que l’événement F arrivera dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves, un nombre de fois qui n’excédera pas la seconde valeur de $n$, et surpassera la première au moins d’une unité, si elle est un nombre entier, et de moins d’une unité, si elle n’en est pas un.

(79). Pour simplifier ce résultat, soient $\mathrm {N}$ le plus grand nombre entier contenu dans $\mu q$, et $f$ l’excès de $\mu q$ sur $\mathrm {N}$ ; désignons par $u$, une quantité telle que ${u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}$ soit un nombre entier, très petit par rapport à $\mathrm {N}$ ; et faisons ensuite}}

${\begin{aligned}q+f-r\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}&=-u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}-1,\\q+f-r'{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}&=u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}.\end{aligned}}$

Les limites des valeurs de $n$ auxquelles se rapporte la probabilité $\mathrm {R}$, deviendront

$n=\mathrm {N} -u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}-1$,$n=\mathrm {N} +u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}$ ;

par conséquent, la formule (16) exprimera alors la probabilité que $n$ excédera au moins d’une unité cette première limite, et ne surpassera pas la seconde, c’est-à-dire la probabilité que ce nombre sera contenu entre les limites

$\mathrm {N} \mp u\,{\sqrt {2\mu pq}}$,

équidistantes de $\mathrm {N}$, et dans lesquelles on a mis $\mu$ au lieu de ${\mu +1}$, ou qu’il sera égal à l’une d’elles.

D’après les équations qu’on vient de poser, et les expressions de $\delta$ et $\delta '$, on aura

$r+\delta =u+\varepsilon +{\frac {1}{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}$,$r'-\delta '=u-\varepsilon$ ;

$\varepsilon$ étant une quantité de l’ordre de petitesse de la fraction ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$. Or, en