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En négligeant, comme plus haut, le terme de l’ordre de petitesse de la fraction ${\tfrac {1}{\mu }}$, il en résultera

$k={\frac {\sqrt {2}}{\mu }}$,$e^{-k^{2}}=1$,$\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\frac {\sqrt {2}}{\mu }}$ ;

ce qui réduit à ${\tfrac {1}{2}}$ la valeur précédente de $\mathrm {P}$.

(78). Supposons maintenant que le nombre $n$ diffère du produit ${(\mu +1)q}$, d’une quantité $\rho$, positive ou négative, mais très petite par rapport à ce produit. À cause de ${p+q=1}$ et ${m+n=\mu }$, on aura à la fois

$n=(\mu +1)q-\rho$,$m+1=(\mu +1)p+\rho$.

La valeur correspondante de $h$ sera

$h={\frac {(\mu +1)q-\rho }{(\mu +1)p+\rho }}$,

et, par conséquent, moindre que ${\tfrac {q}{p}}$, en regardant d’abord $\rho$ comme une quantité positive. Si l’on développe le second membre de l’équation (12) suivant les puissances de $\rho$, on trouve

$k^{2}={\frac {\rho ^{2}}{2\,(\mu +1)\,pq}}\left[1+{\frac {(p-q)\,\rho }{3\,(\mu +1)\,pq}}+{\text{etc.}}\right]$ ;

et, $r$ étant une quantité positive, si l’on fait

$\rho =r{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}$,

on en déduit

$k=r\left[1+{\frac {(p-q)\,r}{3{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}}+{\text{etc.}}\right]$.

En excluant le cas où l’une des deux fractions $p$ et $q$ serait très petite, la série comprise entre les parenthèses, est très convergente, puisqu’elle procède suivant les puissances de ${\tfrac {r}{\sqrt {\mu +1}}}$, ou de ${\tfrac {\rho }{\mu +1}}$. En ne