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formule et l’équation (12) deviendront

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\sqrt {\frac {2}{\pi \mu }}}e^{-k^{2}},\\k^{2}&={\frac {\mu }{2}}\log {\frac {\mu }{2q(\mu +1)}}+{\frac {\mu +2}{2}}\log {\frac {\mu +2}{2p(\mu +1)}}\;;\end{aligned}}$

et $\mathrm {P}$ exprimera la probabilité que dans un très grand nombre pair d’épreuves, l’événement F le plus probable n’arrivera cependant pas plus souvent que l’événement contraire E. En appelant $\mathrm {U}$ la probabilité qu’ils arriveront tous les deux le même nombre de fois, $\mathrm {P-U}$ sera la probabilité que F arrivera moins souvent que E. Dans le cas de ${p=q={\tfrac {1}{2}}}$, il est évident que $\mathrm {P-U}$ sera aussi la probabilité que E arrivera moins souvent que F ; le double de $\mathrm {P-U}$, ajouté à la probabilité $\mathrm {U}$, donnera donc la certitude, ou, autrement dit, $\mathrm {2P-U}$ sera l’unité ; d’où l’on conclut

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi \mu }}}e^{-k^{2}}$ ;

et c’est, en effet, ce que l’on peut aisément vérifier.

En réduisant en série, on a

${\begin{aligned}\mu \log {\frac {\mu }{\mu +1}}&=-\mu \log {\left(1+{\frac {1}{\mu }}\right)}=-1+{\frac {1}{2\mu }}-{\text{etc.}},\\(\mu +2)\log {\frac {\mu +2}{\mu +1}}&=-(\mu +2)\log {\left(1-{\frac {1}{\mu +2}}\right)}=1+{\frac {1}{2(\mu +2)}}+{\text{etc.}},\end{aligned}}$

et, par conséquent,

$k^{2}={\frac {1}{4\mu }}+{\frac {1}{4(\mu +2)}}+{\text{etc.}}$ ;

donc en conservant seulement les termes du même ordre de petitesse que la fraction ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$, nous aurons

$k={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}$,$e^{-k^{2}}=1$.