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Si l’on fait, dans les équations (2),

$\mathrm {H} ={\frac {h^{n}}{(1+h)^{\mu +1}}}$,

et qu’après avoir effectué les différentiations relatives à $h$, on y mette pour cette quantité, sa valeur précédente, on en déduit

${\begin{alignedat}{2}&h'&{}={}&{\sqrt {\frac {2(\mu +1)n}{(m+1)^{3}}}},\\&h''&{}={}&{\frac {2(\mu +1+n)}{3(m+1)^{2}}},\\\end{alignedat}}$
etc.

et lorsque $m$, $n$, $\mu$, seront de très grands nombres et du même ordre de grandeur, il est aisé de voir que ces valeurs des quantités $h'$, $h''$, $h'''$, etc., formeront une série très rapidement décroissante, dont le premier terme $h'$ sera du même ordre de petitesse que la fraction ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$, le second $h''$ de l’ordre de ${\tfrac {1}{\mu }}$, le troisième $h'''$ de l’ordre de ${\tfrac {1}{\mu {\sqrt {\mu }}}}$, et ainsi de suite.

Cela posé, nous aurons, pour la valeur en série de l’intégrale donnée,

$\int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx=\mathrm {H} {\sqrt {\pi }}\left(h'+{\frac {1\,{.}\,3}{2}}h'''+{\frac {1\,{.}\,3\,{.}\,5}{4}}h^{\mathrm {V} }+{\text{etc.}}\right)$.

(11)

(76). L’expression de l’autre intégrale ${\textstyle \int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx}$ contenue dans la formule (10) sera différente selon qu’on aura ${\alpha >h}$ ou ${\alpha <h}$ en désignant toujours par $h$ la valeur de $x$ qui répond au maximum de $\mathrm {X}$.

En effet, la variable que l’on a représentée par $t$ dans la transformation du n^o 67, doit être positive pour toutes les valeurs de $x$ supérieures à $h$, et négative pour toutes les valeurs de $x$ moindres que $h$ ; or, si l’on appelle $\theta$ et $\mathrm {A}$ les valeurs de $t$ et de $\mathrm {A}$, qui répondent à ${x=\alpha }$, on aura

$\mathrm {A} ={\frac {\alpha ^{n}}{(1+\alpha )^{\mu +1}}}$,$\mathrm {A} =\mathrm {H} e^{-\theta ^{2}}$ ;