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avoir $p^{\mu }$ pour valeur ; et, en effet, pour ${n=0}$, on a,

$\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx={\frac {1}{\mu (1+\alpha )^{\mu }}}={\frac {1}{\mu }}p^{\mu }$,$\int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx={\frac {1}{\mu }}$,$\mathrm {P} =p^{\mu }$.

Dans le cas de ${n=\mu -1}$ et ${m=1}$, $\mathrm {P}$ est la probabilité que E arrivera au moins une fois, ou que F n’arrivera pas à toutes les épreuves ; on doit donc avoir

$\mathrm {P} =1-q^{\mu }$ ;

ce que l’on peut aussi vérifier. Pour cela, je fais

$c={\frac {1}{y}}$,$dx=-{\frac {dy}{y^{2}}}$,$\alpha ={\frac {1}{\beta }}$ ;

pour ${n=\mu -1}$, il en résulte

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx&=\int _{0}^{\beta }{\frac {dy}{(1+y)^{\mu +1}}}={\frac {1}{\mu }}\left[1-{\frac {1}{(1+\beta )^{\mu }}}\right],\\\int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dy}{(1+y)^{\mu +1}}}={\frac {1}{\mu }}\;;\end{aligned}}$

et à cause de

$\beta ={\frac {1}{\alpha }}={\frac {p}{q}}$,${\frac {1}{1+\beta }}=q$,

la formule (10) coïncide avec la valeur précédente de $\mathrm {P}$.

(75). Appliquons d’abord la méthode du n^o 67 à l’intégrale ${\textstyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx}$.

En appelant, comme dans ce numéro, $h$ la valeur de $x$ qui répond au maximum de $\mathrm {X}$, et $\mathrm {H}$ la valeur correspondante de $\mathrm {X}$, l’équation ${{\tfrac {d\mathrm {X} }{dx}}=0}$, qui servira à déterminer $h$ sera

$n(1+h)-(\mu +1)h=0$,

d’où l’on conclut

$h={\frac {n}{m+1}}$,$\mathrm {H} ={\frac {n^{n}(m+1)^{m+1}}{(\mu +1)^{\mu +1}}}$.