Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/209

(73). Je reviens actuellement au cas où les chances $p$ et $q$ des deux événements E et F sont constantes, et je vais considérer la probabilité que dans un nombre $\mu$ ou ${m+n}$ d’épreuves, E arrivera au moins $m$ fois et F au plus $n$ fois. Cette probabilité sera la somme des $m$ premiers termes du développement de ${(p+q)^{\mu }}$, ordonnée suivant les puissances croissantes de $q$ ; de sorte qu’en la désignant par $\mathrm {P}$, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =p^{\mu }+\mu p^{\mu -1}q&+{\frac {\mu \,{.}\,\mu -1}{1\,{.}\,2}}p^{\mu -2}q^{2}+\ldots \\&\qquad \ldots +{\frac {\mu \,{.}\,\mu -1\ldots \mu -n+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}p^{\mu -n}q^{n}\;;\end{aligned}}$

(8)

mais sous cette forme, il serait difficile de la transformer en une intégrale à laquelle on puisse ensuite appliquer la méthode du n^o 67, lorsque $m$ et $n$ seront de très grands nombres. Cherchons donc d’abord une autre expression de P qui convienne mieux à cet objet.

On peut aussi dire que l’événement composé dont il s’agit consiste en ce que F n’arrivera pas plus de $n$ fois dans les $\mu$ épreuves. En le considérant de cette manière, je l’appellerai G. Il pourra avoir lieu dans les ${n+1}$ cas suivants :

1^o. Si les $m$ premières épreuves amènent toutes l’événement E ; car alors, il ne restera plus que ${\mu -m}$ ou $n$ épreuves qui ne pourront pas amener F plus de $n$ fois. La probabilité de ce premier cas sera $p^{m}$.

2^o. Si les ${m+1}$ premières épreuves amènent $m$ fois E et une fois F, sans que F occupe le dernier rang, condition nécessaire pour que ce second cas ne rentre pas dans le premier. Il est évident que les ${n-1}$ épreuves suivantes ne pouvant amener F que ${n-1}$ fois au plus, cet événement n’arrivera pas plus de $n$ fois dans la totalité des épreuves. La probabilité de l’arrivée de $m$ fois E et de une fois F, qui occuperait un rang déterminé, étant $p^{m}q$, et ce rang pouvant être les $m$ premiers, il s’ensuit que la probabilité du second cas favorable à G, sera $mp^{m}q$.

3^o. Si les ${m+2}$ premières épreuves amènent $m$ fois E et deux fois F, sans que F occupe le deuxième rang, ce qui est nécessaire et suffisant pour que ce troisième cas ne rentre ni dans le premier, ni dans le second. La probabilité de l’arrivée de $m$ fois E et de deux fois F, dans