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chances ${\tfrac {a}{c}}$ et ${\tfrac {b}{c}}$ des extradions d’une boule blanche et d’une boule noire à l’origine des tirages, arriveraient des nombres de fois $a'$ et $b'$ dans un nombre $c'$ ou ${a'+b'}$ d’épreuves, on aura

$\mathrm {V} =\mathrm {V'} {\sqrt {\frac {c}{\mu }}}$ ;

ce qui montre que la probabilité $\mathrm {V}$ est plus grande que $\mathrm {V'}$ dans le rapport de ${\sqrt {c}}$ à ${\sqrt {\mu }}$, quel que soit le nombre $c'$ de boules qui restent dans A après les tirages, et pourvu seulement que le nombre $\mu$ de boules qu’on en a tirées soit très grand.

On peut remarquer que l’on a

$a'=p'(c-\mu )$,$b'=q'(c-\mu )$ ;

de sorte que les nombres $a'$ et $b'$ de boules des deux couleurs qui restent dans A, sont entre eux comme les probabilités $p'$ et $q'$, ou comme les nombres $a$ et $b$ de pareilles boules que cette urne contenait primitivement. Si l’on a, par exemple, ${p'=q'={\tfrac {1}{2}}}$, et conséquemment ${a'=b'={\tfrac {1}{2}}c'}$, on aura (n^o 69)

$\mathrm {V'} ={\sqrt {\frac {2}{\pi c'}}}$ ;

et à cause de ${c'=c-\mu }$, il en résultera

$\mathrm {V} ={\sqrt {\frac {2c}{\pi \mu (c-\mu )}}}$ ;

Lorsque ${\mu ={\tfrac {1}{2}}c}$, cette quantité a pour valeur

$\mathrm {V} ={\sqrt {\frac {4}{\pi \mu }}}=\mathrm {V'} {\sqrt {2}}$ ;

d’où l’on conclut que quand une urne A renferme des nombres très grands et égaux, de boules blanches et de boules noires, et qu’on en tire la moitié de leur nombre total, sans y remettre les boules sorties, la probabilité d’amener autant de boules blanches que de boules noires, surpasse, dans le rapport de ${\sqrt {2}}$ à l’unité, la valeur qu’elle aurait si l’on eût remis dans l’urne, la boule extraite à chaque épreuve.