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pour la valeur approchée de $\mathrm {U'}$, dans laquelle on a fait, pour abréger,

${\frac {\mu +1}{\mu +\mu '+1}}{\sqrt {\frac {(m+m')(n+n')(\mu +1)}{mn(\mu +\mu '+1)}}}=\mathrm {K}$.

On peut aussi mettre cette expression de $\mathrm {U'}$ sous une autre forme : à cause de la grandeur de $\mu$, on a, à très peu près, par la formule du binôme,

$\left(1+{\frac {1}{\mu }}\right)^{\!\mu }=\left(1+{\frac {1}{\mu +\mu '}}\right)^{\!\mu +\mu '}$ ;

et à cause de ${\mu '=m'+n'}$, il en résulte

$\mathrm {U'} =\mathrm {HK} \left(1+{\frac {m'}{m}}\right)^{\!m}\left(1+{\frac {n'}{n}}\right)^{\!n}\left(1+{\frac {\mu '}{\mu }}\right)^{\!-\mu }\left({\frac {m{+}m'}{\mu {+}\mu '}}\right)^{\!m'}\left({\frac {n{+}n'}{\mu {+}\mu '}}\right)^{\!n'}$.

(7)

Si $m'$ et $n'$ sont de très petits nombres par rapport à $m$ et $n$, on aura, à très peu près,

$\left(1+{\frac {m'}{m}}\right)^{\!m}=e^{m'}$,$\left(1+{\frac {n'}{n}}\right)^{\!n}=e^{n'}$,$\left(1+{\frac {\mu '}{\mu }}\right)^{\!-\mu }=e^{-\mu '}$,

soit par la formule du binôme (n^o 8), soit par la considération des logarithmes ; on aura également, à très peu près,

$\left({\frac {m+m'}{\mu +\mu '}}\right)^{\!m'}=\left({\frac {m}{\mu }}\right)^{\!m'}$,$\left({\frac {n+n'}{\mu +\mu '}}\right)^{\!n'}=\left({\frac {n}{\mu }}\right)^{\!n'}$ ;

et l’on pourra aussi remplacer le facteur $\mathrm {K}$ par l’unité dont il différera très peu. Par conséquent, nous aurons

$\mathrm {U'} =\mathrm {H} \,\left({\frac {m}{\mu }}\right)^{\!m'}\left({\frac {n}{\mu }}\right)^{\!n'}$ ;

et d’après la formule (5), nous voyons que cette expression de $\mathrm {U'}$ coïncide avec la probabilité que les événements E et F arriveront des nombres de fois $m'$ et $n'$, dans un nombre d’épreuves ${m'+n'}$, lorsque les chances $p$ et $q$ de E et F sont données à priori, et ont pour valeur