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mière quantité qui croît indéfiniment avec $\mu$, et surpasse déjà 800 pour $\mu =$ 100.

(71). Supposons toujours les chances de E et F constantes, mais inconnues. On sait seulement que dans un nombre $\mu$ ou ${m+n}$ d’épreuves, E et F sont arrivés $m$ fois et $n$ fois. On demande la probabilité que dans un nombre $\mu '$ ou ${m'+n'}$ d’épreuves futures, E et F arriveront $m'$ fois et $n'$ fois. En la représentant par $\mathrm {U} '$ ; désignant par $\mathrm {P} _{i}$ le produit des $i$ premiers nombres naturels, de sorte qu’on ait

$\mathrm {P} _{i}=1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots i$ ;

et faisant, pour abréger,

${\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu '}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m'\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n'}}=\mathrm {H}$,

nous aurons (n^o 46)

$\mathrm {U'} =\mathrm {H} \,{\frac {\mathrm {P} _{m+m'}\mathrm {P} _{n+n'}\mathrm {P} _{\mu +1}}{\mathrm {P} _{m}\mathrm {P} _{n}\mathrm {P} _{\mu +\mu '+1}}}$.

Quels que soient $m'$ et $n'$, si $m$ et $n$ sont de très grands nombres, et que l’on réduise, comme plus haut, la formule (3) à son premier terme, nous aurons

$\mathrm {P} _{n}=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}$ ;

les valeurs des autres produits $\mathrm {P} _{n+n'}$, $\mathrm {P} _{\mu +1}$, etc., se déduiront de celle de $\mathrm {P} _{n}$ en y mettant ${n+n'}$, ${\mu +1}$, etc., au lieu de $n$ ; et il en résultera

$\mathrm {U'} =\mathrm {HK} \,{\frac {(m+m')^{m+m'}(n+n')^{n+n'}(\mu +1)^{\mu }}{m^{m}\,n^{n}(\mu +\mu '+1)^{\mu +\mu '}}}$,