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dans l’un de mes mémoires sur les intégrales définies^[1], on a

${\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos ^{\mu }{\!x}\cos {(m-n)x}\,dx={\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}\,{.}\,{\frac {1}{2^{\mu }}}$.

Quels que soient les nombres $m$ et $n$, et leur somme $\mu$, on aura donc, d’après l’équation (5),

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos ^{\mu }{\!x}\cos {(m-n)x}\,dx$,

dans le cas de ${p=q={\tfrac {1}{2}}}$, qu’il nous suffira de considérer. Or, si $\mu$ est un très grand nombre, et si, dans un calcul d’approximation, on le traite comme un nombre infini, le facteur $\cos ^{\mu }{x}$ de $dx$ sous le signe d’intégration, s’évanouira dès que la variable $x$ aura une grandeur finie ; et l’autre facteur $\cos {(m-n)x}$ ayant toujours une valeur finie, il s’ensuit qu’on pourra, sans altérer la valeur de l’intégrale, l’étendre seulement depuis ${x=0}$ jusqu’à ${x=\alpha }$, en désignant par $\alpha$ une quantité infiniment petite et positive. Entre ces limites, on aura

$\cos {x}=1-{\frac {1}{2}}x^{2}$,$\cos ^{\mu }{\!x}=e^{-{\frac {1}{2}}\mu x^{2}}$,

et, par conséquent,

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\alpha }e^{-{\frac {1}{2}}\mu x^{2}}\cos {(m-n)x}\,dx$.

Mais actuellement, le facteur $e^{-{\frac {1}{2}}\mu x^{2}}$ s’évanouissant pour toute valeur finie de $x$, on peut aussi, sans altérer la valeur de cette nouvelle intégrale, l’étendre au-delà de ${x=\alpha }$, et si l’on veut jusqu’à ${x=\infty }$ ; et comme on a, d’après une formule connue,

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}\mu x^{2}}\cos {(m-n)x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{2\mu }}}e^{-{\frac {(m-n)^{2}}{2\mu }}}$,

1. Journal de l’École Polytechnique, 19^e cahier, page 490.