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Or, si $g$ est une fraction ou un nombre très petit par rapport à ${\sqrt {\mu }}$, on aura, par la formule du binôme (n^o 8), à très peu près,

${\begin{aligned}\left(1-{\frac {g^{2}}{\mu }}\right)^{-{\frac {1}{2}}\mu }&=e^{{\frac {1}{2}}g^{2}},\\\left(1-{\frac {g}{\sqrt {\mu }}}\right)^{{\frac {1}{2}}g{\sqrt {\mu }}}&=\left(1+{\frac {g}{\sqrt {\mu }}}\right)^{-{\frac {1}{2}}g{\sqrt {\mu }}}=e^{-{\frac {1}{2}}g^{2}}\;;\end{aligned}}$

et en prenant sous le radical, $\mu$ au lieu de ${\mu -g^{2}}$, il en résultera

$\mathrm {U} ={\sqrt {\frac {2}{\pi \mu }}}e^{-{\frac {1}{2}}g^{2}}$,

pour la loi du décroissement de la probabilité $\mathrm {U}$, dans une petite étendue, de part et d’autre de son maximum. En faisant, par exemple,

$\mu =200$,$g={\frac {1}{\sqrt {2}}}$,

on en conclura que dans 200 épreuves, la probabilité que les événements E et F, dont les chances sont égales, auront lieu le premier 105 fois et le second 95 fois, est à la probabilité qu’ils arriveront chacun 100 fois, comme $\textstyle e^{-{\frac {1}{4}}}$ est à l’unité, ou à peu près, comme 3 est à 4.

La formule (6) suppose que chacun des trois nombres $\mu$, $m$, $n$, est très grand ; cette condition étant remplie, et si le rapport ${\tfrac {m}{n}}$ s’écarte beaucoup de ${\tfrac {p}{q}}$, cette formule donne pour $\mathrm {U}$ une valeur très petite relativement à son maximum ; mais il est bon d’observer que si l’on suivait une autre méthode d’approximation, la valeur toujours très petite de $\mathrm {U}$ que l’on trouverait, lorsque la différence ${{\tfrac {m}{n}}-{\tfrac {p}{q}}}$ est une très petite fraction, pourrait ne pas coïncider avec celle qui se déduit de la formule (6), de telle sorte que le rapport de l’une de ces valeurs approchées à l’autre pourrait différer beaucoup de l’unité.

Pour le faire voir, j’observe qu’en vertu d’une formule qui se trouve