Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/197

En multipliant par $2^{n}$ les deux membres de l’équation (3), les élevant ensuite au carré, et les divisant par $2n$, il vient

${\begin{aligned}&2\,{.}\,2\,{.}\,4\,{.}\,4\,{.}\,6\,{.}\,6\ldots 2n{-}2\,{.}\,2n-2\,{.}\,2n\\&\qquad =\pi (2n)^{2n}e^{-2n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+{\text{etc.}}\right)^{2}\;;\end{aligned}}$

en élevant les deux membres de l’équation (4) au carré, et supprimant dans le premier un facteur égal à l’unité, on a de même

${\begin{aligned}&1\,{.}\,3\,{.}\,3\,{.}\,5\,{.}\,5\ldots 2n-1\,{.}\,2n-1\\&\qquad =2(2n)^{2n}e^{-2n}\left(1+{\frac {1}{24n}}+{\frac {1}{1152n^{2}}}+{\text{etc.}}\right)^{2}\;;\end{aligned}}$

De cette manière, les premiers membres de ces deux équations sont des produits composés d’un même nombre de facteurs, égal à ${2n-1}$ ; et si l’on divise ces équations membre à membre, on en conclut

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\pi \left(1-{\frac {1}{12n}}+{\text{etc.}}\right)\\&\qquad ={\frac {2\,{.}\,2\,{.}\,4\,{.}\,4\,{.}\,6\ldots 2n{-}2\,{.}\,2n-2\,{.}\,2n}{1\,{.}\,3\,{.}\,3\,{.}\,5\,{.}\,5\ldots 2n-3\,{.}\,2n-1\,{.}\,2n-1}}\;;\end{aligned}}$

résultat qui coïncide dans le cas de $n$ infini, avec la formule connue de Wallis, savoir :

${\frac {1}{2}}\pi ={\frac {2\,{.}\,2\,{.}\,4\,{.}\,4\,{.}\,6\,{.}\,6\,{.}\,8\ldots }{1\,{.}\,3\,{.}\,3\,{.}\,5\,{.}\,5\,{.}\,7\,{.}\,7\ldots }}$.

C’est à Laplace que l’analyse est redevable de la méthode que nous venons d’employer pour réduire les intégrales en séries convergentes dans leurs premiers termes, et propres à en calculer des valeurs approchées, lorsque les quantités soumises à l’intégration sont affectées de très grands exposants. Nous en verrons dans la suite une autre application.

(69). Maintenant, soient E et F deux événements contraires, de nature quelconque, dont un seul arrivera à chaque épreuve ; désignons par $p$ et $q$ leurs probabilités que nous supposerons constantes ; appelons $\mathrm {U}$ la probabilité que dans un nombre $\mu$ d’épreuves, E arrivera un nombre $m$ de fois, et F un nombre $n$ de fois ; nous aurons (n^o 14)

$\mathrm {U} ={\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}p^{m}q^{n}$,

(5)