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$\pi$ désignant toujours le rapport de la circonférence au diamètre. Donc, à cause de

${\frac {dx}{dt}}={\frac {dx'}{dt}}=h'+2h''t+3h'''t^{2}+{\text{etc.}}$,

nous aurons

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\mathrm {H} {\sqrt {\pi }}\left(h'+{\frac {1.3}{2}}h'''+{\frac {1.3.5}{4}}h^{\text{V}}+{\frac {1.3.5.7}{8}}h^{\text{VII}}+{\text{etc.}}\right)$.

Il suffira donc de déterminer les coefficients $h'$, $h'''$, $h^{\text{V}}$, etc., de rangs impairs ; or au moyen des équations (2), on trouve

$h'={\sqrt {2n}}$,$h'''={\frac {\sqrt {2n}}{18n}}$,$h^{\text{V}}={\frac {\sqrt {2n}}{1080n^{2}}}$, etc. ;

par conséquent, en ayant égard à l’équation (1) et à la valeur de $\mathrm {H}$, on aura finalement

$1.2.3\!\ldots \!n=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+{\text{etc.}}\right)$.

(3)

(68). La série contenue entre les parenthèses sera d’autant plus convergente dans ses premiers termes, qu’il s’agira d’un plus grand nombre $n$. Toutefois, la loi de la série n’étant pas connue, elle peut être du genre des séries qui finissent par devenir divergentes, en les prolongeant convenablement ; mais en réduisant cette série à sa partie convergente, on pourra toujours faire usage de la formule (3) pour calculer une valeur approchée du produit des $n$ premiers nombres naturels ; et il ne sera pas même nécessaire que $n$ soit fort considérable pour que l’approximation soit très grande. En prenant, par exemple, ${n=10}$, la formule réduite à ses trois premiers termes, donne 3 628 800 à moins d’une unité près, et ce nombre entier se trouve être aussi la valeur exacte du produit des 10 premiers nombres naturels.

En mettant $2n$ au lieu de $n$ dans la formule (3), il vient

$1.2.3\!\ldots \!2n{-}1.2n=2(2n)^{2n}e^{-2n}{\sqrt {\pi n}}\left(1+{\frac {1}{24n}}+{\frac {1}{1152n^{2}}}+{\text{etc.}}\right)$ ;