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On aura aussi

$\operatorname {log.} {e^{-x}x^{n}}=\operatorname {log.} {\mathrm {H} }-t^{2}$ ;

et si l’on fait

$x=h+x'$,

et qu’on développe suivant les puissances de $x'$, il en résultera

$t^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\!.\operatorname {log.} {\mathrm {H} }}{dh^{2}}}\,x'^{2}+{\frac {1}{2\,{.}\,3}}{\frac {d^{3}\!.\operatorname {log.} {\mathrm {H} }}{dh^{3}}}\,x'^{3}+{\text{etc.}}=0$,

en observant que la différentielle première de $\operatorname {log.} {\mathrm {H} }$ est égale à zéro, et où l’on fera ${h=n}$ après les différentiations. La valeur de $x'$ que l’on tirera de cette équation pourra être représentée par une série de la forme

$x'=h't+h^{2}t^{2}+h'''t^{3}+{\text{etc.}}$ ;

$h'$, $h''$, $h'''$, etc., étant des coefficients indépendants de $t$, que l’on déterminera, les uns au moyen des autres, en substituant cette valeur dans cette équation, et égalant ensuite à zéro la somme des coefficients de chaque puissance de $t$ dans son premier membre. On aura, de cette manière,

$\left.{\begin{aligned}&1+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\!.\operatorname {log.} {\mathrm {H} }}{dh^{2}}}h'^{2}=0,\\&{\frac {d^{2}\!.\operatorname {log.} {\mathrm {H} }}{dh^{2}}}\,h''+{\frac {1}{6}}{\frac {d^{3}\!.\operatorname {log.} {\mathrm {H} }}{dh^{3}}}\,h'^{3}=0,\\&{\text{etc.}}\end{aligned}}\right\rbrace$

(2)

En désignant par $i$ un nombre entier et positif, on a

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt=0,\\&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i}dt={\frac {1\,{.}\,3\,{.}\,5\ldots 2i-1}{2^{i}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt.\end{aligned}}$

On a aussi, comme on sait,

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\sqrt {\pi }}$ ;