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durée, et sans doute aussi quelques causes résultantes de la vie elle-même, qui l’empêchent de se prolonger au-delà de limites qu’elles n’a jamais dépassées : il y a lieu de croire, en effet, que si les maladies étaient les seules causes de mort, et qu’elle fut, pour ainsi dire, accidentelle, quelques-uns des hommes parmi le nombre immense de ceux qui ont vécu, auraient échappé à ces dangers pendant plus de deux siècles ; ce qu’on n’a jamais observé. La chose A sera alors le temps que vivra un enfant qui vient de naître ; $z$ exprimera une valeur possible de A, et ${\mathrm {Z} dz}$ la chance de $z$ résultante de toutes les causes, quelles qu’elles soient, qui peuvent la déterminer, non pas pour un enfant en particulier, mais pour l’espèce humaine, dans le lieu et à l’époque que l’on considère. Ainsi, concevons qu’une certaine constitution physique en naissant, donne une chance ${\mathrm {Z'} dz}$ de vivre précisément un temps égal à $z$, qu’une autre constitution donne une chance ${\mathrm {Z''} dz}$ de vivre jusqu’au même âge, etc. ; soient aussi $\zeta '$, $\zeta ''$, etc., les probabilités de ces diverses constitutions : à raison de ces causes, la fonction $\mathrm {Z}$ sera la somme ${\zeta '\mathrm {Z'} +\zeta ''\mathrm {Z''} +{\text{etc.}}}$, étendue à toutes les constitutions possibles ; et si ce nombre est infini, $\mathrm {Z}$ se changera en une intégrale définie, qui aura une valeur inconnue, mais déterminée. Dans le pays où les hommes naissent le plus forts ou le mieux constitués, cette intégrale aura sans doute la plus grande valeur ; dans chaque pays, elle pourra n’être pas la même pour les deux sexes ; sans doute aussi les valeurs de $\mathrm {Z'}$, $\mathrm {Z''}$, $\mathrm {Z'''}$, etc., dépendront d’ailleurs des maladies possibles et du bien-être des habitants : la fonction $\mathrm {Z}$ sera différente, et par suite, l’intégrale de ${\mathrm {Z} zdz}$ le sera aussi, à deux époques éloignées l’une de l’autre, si dans l’intervalle quelque maladie a disparu, ou que le bien-être du peuple ait augmenté par le progrès de la société. On pourra, si l’on veut, prendre zéro et l’infini pour les limites $l$ et $l'$ de cette intégrale, en considérant $\mathrm {Z}$ comme une fonction qui s’évanouit au-delà d’une valeur de $z$, inconnue aussi bien que la forme de $\mathrm {Z}$. Cela étant, les valeurs observées de A seront les âges auxquels sont morts un très grand nombre $\mu$ d’individus nés dans un même pays et vers la même époque ; et en appelant $s$ la somme de ces âges, on aura, à très peu près et très probablement,

${\frac {s}{\mu }}=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Z} zdz$ ;