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et F un nombre de fois compris entre ${n\mp l}$ ; de telle sorte que sans changer l’intervalle $2l$ des limites de ces deux nombres, on pourra rendre le nombre $\mu$ des épreuves assez grand pour que la probabilité $\lambda$ soit aussi approchante qu’on voudra de la certitude. Si l’on prend les rapports de ces limites au nombre $\mu$ des épreuves, que l’on ait égard aux équations précédentes, et qu’on fasse

${\frac {l}{\mu }}=\delta$,$p\pm \delta =p'$,$q\mp \delta =q'$,

ces rapports seront $p'$ et $q'$ ; et comme la fraction $\delta$ diminuera indéfiniment à mesure que $\mu$ augmentera, il s’ensuit que ces rapports, variables avec $\mu$, approcheront aussi indéfiniment, et avec une très grande probabilité, des chances $p$ et $q$ de E et F ; ce qui est l’énonce du beau théorème de Jacques Bernouilli.

Nous renverrons pour la démonstration de ces propriétés des termes du développement de ${(p+q)^{\mu }}$ aux ouvrages où elle est exposée^[1]. Celle du théorème même, que l’on trouvera dans le chapitre suivant, est fondée sur l’emploi du calcul intégral. En attendant, on ne doit pas perdre de vue que ce théorème suppose essentiellement l’invariabilité des chances des événements simples E et F, pendant toute la durée des épreuves. Or, dans les applications du calcul des probabilités, soit à divers phénomènes physiques, soit à des choses morales, ces chances varient le plus souvent d’une épreuve à une autre, et le plus souvent aussi, d’une manière tout-à-fait irrégulière. Le théorème dont il s’agit ne suffirait donc pas dans ces sortes de questions ; mais il existe d’autres propositions plus générales, qui ont lieu quelle que soit la variation des chances successives des événements, et sur lesquelles sont fondées les plus importantes applications de la théorie des probabilités. Elles seront également démontrées dans les chapitres suivants ; on en va maintenant donner l’énoncé, et en déduire la loi des grands nombres, que l’on a considérée dans le préambule de cet ouvrage,

1. Ars conjectandi ; pars quarta. Traité élémentaire des probabilités de M. Lafoix ; 1^re section.