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$a_{1}=$ 1038,	$a_{2}=$ 512,	$a_{3}=$ 252,	$a_{4}=$ 124,	$a_{5}\;=$ 61,
$a_{6}=$ 30,	$a_{7}=$ 15,	$a_{8}=$ 7,	$a_{9}=$ 4,	$a_{10}=$ 1,

en négligeant les fractions : les nombres suivants $a_{11}$, $a_{12}$, etc., seraient au-dessous de l’unité. Or, si l’on compare cette série des valeurs calculées, à celles des nombres $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, etc., qui résultent de l’observation, on voit qu’elles s’écartent peu l’une de l’autre dans leurs premiers termes. Les écarts sont plus grands dans les termes suivants ; par exemple, la valeur calculée de $a_{7}$ n’est que les trois cinquièmes de la valeur observée ; mais ce nombre $a_{7}$ répond à un événement dont la probabilité est au-dessous d’un centième. En s’arrêtant aux trois premiers termes de la série des nombres observés, on en déduit

$p={\tfrac {a_{1}}{m}}=$ 0,51806,$p=1-{\tfrac {a_{2}}{a_{1}}}=$ 0,53441,$p=1-{\tfrac {a_{3}}{a_{2}}}=$ 0,53033 ;

quantités qui diffèrent très peu entre elles, et dont la moyenne, ou le tiers de leur somme, est

$p=$ 0,52760,

qui diffère à peine de 0,02, de la valeur ${\tfrac {m}{\mu }}$ de $p$, résultante de l’ensemble des épreuves.

J’ai choisi cette expérience à cause du nom de l’auteur, et parce que l’ouvrage où elle se trouve, la rend authentique. Chacun en peut faire beaucoup d’autres de la même espèce, soit avec une pièce de monnaie, soit avec un dé à six faces. Dans ce dernier cas, le nombre de fois que chaque face arrivera, sur un très grand nombre d’épreuves, sera à très peu près un sixième de celui-ci, à moins que le dé ne soit faux ou mal construit.

(51). Le théorème sur lequel est fondée la règle précédente est dû à Jacques Bernouilli, qui en avait médité la démonstration pendant vingt années. Celle qu’il a donnée se déduit de la formule du binôme au moyen des propositions suivantes.

Soient, à chaque épreuve, $p$ et $q$ les chances données des deux événements contraires E et F ; soient aussi $g$, $h$, $k$, des nombres entiers.