(45). Ainsi que je l’ai déjà dit (no 30), on peut considérer E et E′ comme des événements composés d’un même événement simple G, et liés l’un à l’autre par leur dépendance commune de cet événement.
La chance de G est inconnue ; la probabilité qu’elle a pour valeur est avant l’arrivée de E, et après cette arrivée ; et comme cette chance a certainement une des valeurs comprises depuis jusqu’à , il faut que la somme des valeurs correspondantes de soit l’unité, comme cela a déjà lieu pour la somme des valeurs de . La fonction donnée de , quelle qu’elle soif d’ailleurs, continue ou discontinue, devra donc toujours satisfaire à la condition
D’après la règle de l’espérance mathématique (no 25), appliquée à la chance de G, on devra prendre pour sa valeur, avant l’observation de E, la somme de toutes ses valeurs possibles, multipliées par leurs probabilités respectives, c’est-à-dire, la somme de tous les produits de et de , depuis jusqu’à a . En désignant par , cette chance de G, ou, plus exactement, ce qu’on doit prendre pour sa valeur inconnue, avant que E ait été observé, on aura donc :
et l’on peut remarquer que si l’on considère et comme l’abscisse et l’ordonnée d’une courbe plane, et si l’on observe que l’aire entière de cette courbe, ou l’intégrale est l’unité, sera l’abscisse du centre de gravité de cette même aire. C’est d’après cette valeur de prise pour la chance de G, que l’on devrait parier pour une première arrivée de cet événement, mais non pas pour plusieurs arrivées successives ; car selon que G aura eu lieu ou n’aura pas eu lieu dans une première épreuve, la probabilité de son arrivée sera augmentée ou diminuée dans les épreuves suivantes.
Si, par exemple, toutes les valeurs de sont également probables à priori, la quantité devra être indépendante de ; d’après les deux équations précédentes, on aura donc
