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qui répond à l’autre cas extrême où cette urne ne contiendrait que des boules blanches.

Représentons aussi par $\mathrm {X}$ la probabilité que ce rapport, si sa valeur $x$ était certaine, donnerait à l’arrivée de E, de manière que $\mathrm {X}$ soit, dans chaque question, une fonction connue de $x$. En considérant donc cette valeur comme une des causes possibles de E, il s’agira de déterminer la probabilité infiniment petite de $x$, soit quand toutes ces causes sont également probables avant l’observation, soit quand elles ont, à priori, des chances différentes.

Dans le premier cas, la probabilité demandée se déduira de la quantité $\varpi _{n}$ du n^o 28, en y supposant $m$ infini, et y mettant pour $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$ etc., les valeurs de $x$ relatives à toutes celles de $\mathrm {X}$.

En faisant d’abord usage du signe $\textstyle \sum$, comme dans le n^o 32, et appelant $\varpi$ la probabilité de $x$, nous aurons donc

$\varpi ={\frac {\mathrm {X} }{\sum \mathrm {X} }}$.

Mais, d’après le théorème fondamental des intégrales définies, on aura aussi

${\textstyle \sum \mathrm {X} dx}=\int _{0}^{1}\mathrm {X} dx$ ;

par conséquent, si l’on suppose constante la différentielle $dx$, et qu’on multiplie par $dx$ les deux termes de la fraction précédente, il en résultera

$\varpi ={\frac {\mathrm {X} dx}{\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm {X} dx}}$.

En même temps, si l’on désigne par $\mathrm {X'}$ la probabilité correspondante à $\mathrm {X}$, d’un événement futur E′ qui dépend des mêmes causes que E, et par $\varpi '$ la probabilité complète de l’arrivée de E′, on aura, d’après la règle du n^o 30,

$\varpi '={\textstyle \sum \mathrm {X'} \varpi }$,