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$p_{n}={\frac {1}{m}}+c$, $c={\frac {mp_{n}-1}{m}}$.

Pour une valeur quelconque de $x$, on aura donc ensuite

$y_{x}={\frac {1}{m}}[1+(mp_{n}-1)\mathrm {X} ]$,

où l’on a fait, pour abréger,

${\frac {(mk_{1}-1)\,(mk_{2}-1)\ldots (mk_{x}-1)}{(m-1)^{x}}}=\mathrm {X}$.

En observant que la probabilité $y'_{x}$ relative au témoin direct T, dans une hypothèse quelconque C_$i$ différente de C_$n$, doit aussi être celle que l’on a exprimée par $p_{i}$ dans le numéro précédent, nous aurons de même

$y'_{x}={\frac {1}{m}}[1+(mp_{i}-1)\mathrm {X} ]$,

quantité indépendante de $i$, puisque $p_{i}$ ne dépend pas de ce nombre.

Je substitue ces valeurs dans celle de $\varpi _{n}$ ; il en résulte

$\varpi _{n}={\frac {[1+(mp_{n}-1)\mathrm {X} ]a_{n}}{[1+(mp_{n}-1)\mathrm {X} ]a_{n}+[1+(mp_{i}-1)\mathrm {X} ](\mu -a_{n})}}$,

pour la probabilité que le n^o $n$ annoncé par le dernier témoin T_$x$ est réellement sorti de l’urne A ; ce qu’il s’agissait de déterminer.

Le produit représenté par $\mathrm {X}$ peut être remplacé par celui-ci :

$\mathrm {X} =h_{1}\,h_{2}\,h_{3}\ldots h_{x}$,

en faisant, pour abréger,

$k_{x}-{\frac {(1-k_{x})}{m-1}}=h_{x}$.

Le nombre $m$ étant toujours plus grand que un, et $k_{x}$ désignant une fraction positive qui ne peut pas surpasser l’unité, il s’ensuit que chacun des facteurs de $\mathrm {X}$ pourra être positif ou négatif, sans sortir jamais des limites ${\pm 1}$. Lorsque le nombre $x$ des facteurs sera très grand, ce produit sera insensible, et tout-à-fait nul, si ce nombre était infini, en