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parmi les ${m-1}$ numéros qu’il ne croit pas annoncés par T_$x-1$, étant seulement ${\tfrac {1}{m\,-\,1}}$, cette considération réduira à ${\tfrac {(1\,-\,k_{x})(1\,-\,y_{x-1})}{m\,-\,1}}$ la probabilité de l’annonce du n^o $n$. Enfin, le témoin T_$x$ n’annoncera pas la sortie de ce numéro, soit quand il nous trompera et que T_$x-1$ l’aura annoncé, soit quand il ne nous trompera pas et que T_$x-1$ aura annoncé la sortie d’un autre numéro. Nous aurons donc

$y_{x}=k_{x}y_{x-1}+{\frac {(1-k_{x})\,(1-y_{x-1})}{m-1}}$,

pour la probabilité complète de l’événement observé, dans l’hypothèse C_$n$. On trouvera de même

$y'_{x}=k_{x}y'_{x-1}+{\frac {(1-k_{x})\,(1-y'_{x-1})}{m-1}}$,

pour cette probabilité dans toute autre hypothèse C_$i$ ; en sorte que les deux inconnues $y_{x}$ et $y'_{x}$ dépendront d’une même équation aux différences finies du premier ordre, et ne différeront l’une de l’autre que par la constante arbitraire.

En considérant $y_{x}$ et désignant cette constante par $c$, l’intégrale complète de l’équation donnée sera

$y_{x}={\frac {1}{m}}+{\frac {c\,(mk_{1}-1)\,(mk_{2}-1)\ldots (mk_{x-1}-1)\,(mk_{x}-1)}{(m-1)^{x}}}$ ;

car en y mettant ${x-1}$ au lieu de $x$, on en déduit

${\begin{aligned}y_{x-1}&={\frac {1}{m}}+{\frac {c\,(mk_{1}-1)\,(mk_{2}-1)\ldots (mk_{x-1}-1)}{(m-1)^{x-1}}},\\1-y_{x-1}&={\frac {m-1}{m}}-{\frac {c\,(mk_{1}-1)\,(mk_{2}-1)\ldots (mk_{x-1}-1)}{(m-1)^{x-1}}}\;;\end{aligned}}$

et ces valeurs jointes à celle de $y_{x}$ rendent identique l’équation donnée. Pour déterminer la constante $c$, je fais ${x=0}$ dans l’intégrale, et j’observe que la probabilité $y_{x}$ qui se rapporte au témoin direct T, doit être celle que l’on a désignée par $p_{n}$ dans le numéro précédent. En prenant, dans ce cas de ${x=0}$, l’unité pour le produit des facteurs que l’intégrale renferme, on aura donc