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l’attestation, par ce témoin, qu’il tient de T_$x-1$, que le n^o $n$ est sorti de A ; et il s’agit de déterminer la probabilité que ce numéro soit effectivement celui qui a été extrait de cette urne.

Soient $y_{x}$ la probabilité de l’événement observé, dans l’hypothèse C_$n$ de la sortie du n^o $n$ de A, et $y'_{x}$, dans l’hypothèse C_$i$ de l’extraction d’un autre n^o $i$. En désignant toujours par $a_{n}$ et $a_{x}$ les nombres de boules n^o $n$ et n^o $i$ contenus dans A, et par $\mu$ le nombre total de boules que cette urne renferme, la fraction ${\tfrac {a_{n}}{\mu }}$ sera, à priori, la chance de la sortie du n^o $n$, et ${\tfrac {a_{i}}{\mu }}$ celle de la sortie du n^o $i$. Par la règle du n^o 34, nous aurons

$\varpi _{n}={\frac {a_{n}y_{x}}{a_{n}y_{x}+\sum a_{i}y'_{x}}}$,

pour la probabilité de l’hypothèse C_$n$ ; la somme $\textstyle \sum$ s’étendant à tous les indices $i$, depuis ${i=1}$ jusqu’à ${i=m}$, excepté ${i=n}$. On verra tout à l’heure que l’expression de $y'_{x}$ est indépendante de $i$ ; et la somme des valeurs de $a_{i}$, excepté $a_{n}$, étant ${\mu -a_{n}}$, cette valeur de $\varpi _{n}$ est la même chose que

$\varpi _{n}={\frac {a_{n}y_{x}}{a_{n}y_{x}+(\mu -a_{n})y'_{x}}}$.

On en déduira la probabilité $\varpi _{i}$ de toute autre hypothèse C_$i$, en multipliant ${1-\varpi _{n}}$, par le rapport de $a_{i}$ à ${\mu -a_{n}}$.

Le problème se réduit donc à la détermination des inconnues $y_{x}$ et ${y'_{x}}$ en fonctions de $x$. Pour cela, je représente par $k_{x}$ la probabilité que le témoin T_$x$ ne nous trompe pas, de sorte que ${1-k_{x}}$ soit la probabilité qu’il nous trompe, involontairement ou à dessein. Le témoin T_$x$ annoncera la sortie du n^o $n$ de A, s’il ne nous trompe pas et que T_$x-1$, ait aussi annoncé l’extraction de ce n° ; combinaison dont la probabilité est le produit ${k_{x}y_{x-1}}$, dans l’hypothèse C_$n$, en observant que $y_{x-1}$ exprime à l’égard de T_$x-1$, ce que $y_{x}$ représente relativement à T_$x$. Il pourra encore annoncer la sortie du n^o $n$, s’il nous trompe, et qu’en même temps T_$x-1$ ait annoncé celle d’un autre numéro ; dans l’hypothèse C_$n$, la probabilité de cette combinaison est le produit ${(1-k_{x})(1-y_{x-1})}$ ; mais la chance que $n$ sera le numéro qu’annoncera T_$x$