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vant que le témoin peut nous tromper, soit qu’il ne se trompe pas et veuille tromper, soit qu’il se trompe et ne veuille pas tromper. On aura encore

q={\frac {a}{\mu }}

,

1-q={\frac {\mu -a}{\mu }}

,

pour les probabilités avant le témoignage, de la vérité et de la fausseté du fait que le témoin atteste. Ces diverses valeurs rendent, en effet, l’expression de $r$ du n^o 36 identique avec celle que l’on vient d’écrire.

Quand l’urne A ne renferme qu’une seule boule portant chaque numéro, depuis le n^o 1 jusqu’au n^o $m$ , on a ${a_{n}=1}$ et ${\mu =m}$ ; ce qui simplifie beaucoup l’expression générale de $\varpi _{n}$ , et la réduit à

\varpi _{n}=uv+{\frac {(1-u)\,(1-v)}{m-1}}

.

Cette probabilité que le n^o $n$ annoncé par le témoin est réellement sorti de l’urne A, ne diffère pas, dans ce cas, de celle qui a été désignée plus haut par $p_{n}$ , c’est-à-dire de la probabilité que le témoin annoncera le n^o $n$ , dans la supposition de la sortie de ce numéro. Elle diminue à mesure que le nombre $m$ des numéros contenus dans l’urne devient plus grand, et serait égale à la probabilité que le témoin ne se trompe ni ne veut tromper, si ce nombre pouvait devenir infini.

(39). Il resterait à considérer le cas général où il existe plusieurs témoins dont les uns ont une connaissance directe du fait qu’ils attestent, et les autres le connaissent seulement par tradition ; mais pour ne pas donner une trop grande étendue à cette digression sur la probabilité des témoignages, nous nous bornerons à résoudre une question particulière de cette espèce.

Nous appellerons T, T₁, T₂,… T_$x-1$, T_$x$ les témoins dont le nombre sera ${x+1}$ . Comme dans le problème précédent, une boule a été extraite de l’urne A, son numéro est à la connaissance directe de T, chacun des autres témoins tient de celui qui le précède que cette boule portait le n^o $n$ ; en sorte que ce fait est transmis du premier témoin T au dernier T_$x$, et de celui-ci à nous, par une chaîne traditionnelle, non interrompue. Le témoin T_$x$ étant donc le seul que nous ayons entendu, l’événement observé, dans cette question, est