Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/124

et si un témoin annonce que la boule sortie de A porte le n^o $n$, les probabilités de ces hypothèses prendront les valeurs $\varpi _{1},\,\varpi _{2},\,\varpi _{3},\ldots \varpi _{m}$. qu’il s’agira de déterminer par la règle du n^o 34. Ici l’événement observé sera l’annonce, par le témoin, de la sortie du n^o $n$ ; chacune des hypothèses donnera une certaine probabilité à cet événement, dont il faudra d’abord former l’expression ; on représentera par $p_{1},\,p_{2},\,p_{3},\ldots p_{m}$, ses probabilités résultantes des $m$ hypothèses ; et d’après ces diverses notations, C_$i$, $q_{i}$, $\varpi _{i}$, $p_{i}$, répondront à la sortie d’un numéro quelconque $i$, et, en particulier, C_$n$, $q_{n}$, $\varpi _{n}$, $p_{n}$, a la sortie du n^o $n$ annoncé par le témoin.

Je désigne par $u$ la probabilité que ce témoin ne se trompe pas, et par $v$ la probabilité qu’il ne veut pas tromper ; ${1-u}$ sera la probabilité qu’il se trompe, et ${1-v}$ qu’il veut tromper. Dans la $n$^ième hypothèse, c’est-à-dire, dans la supposition que $n$ est réellement le numéro extrait de A, le témoin annoncera la sortie de ce numéro, s’il ne trompe pas et s’il ne veut pas tromper, combinaison dont la probabilité est $uv$ par la règle du n^o 5. S’il se trompe, il croira que la boule sortie de A porte un numéro quelconque $n'$ différent de $n$ ; et en même temps, s’il veut tromper, il annoncera un numéro différent de $n'$, ou pris parmi les ${m-1}$ autres numéros ; la chance qui en résultera pour le n^o $n'$ d’être précisément celui que le témoin annoncera, sera donc ${\tfrac {1}{m\,-\,1}}$, en admettant, toutefois, que le témoin n’ait aucune prédilection pour un numéro plutôt que pour un autre ; par conséquent, d’après la règle citée, la probabilité que ce numéro sera annoncé par un témoin qui se trompe et qui veut tromper, aura pour valeur le produit des trois fractions ${1-u}$, ${1-v}$, ${\tfrac {1}{m\,-\,1}}$. Soit que le témoin se trompe et ne veuille pas tromper, soit qu’il ne se trompe pas et veuille tromper, le témoin n’annoncera pas la sortie du n^o $n$ ; car, dans le premier cas, il voudra annoncer le numéro qu’il croira sorti et qui ne sera pas le n^o $n$, et, dans le second, il saura que ce numéro est sorti et ne voudra pas l’annoncer. De toute cette discussion et d’après la règle du n^o 10, on conclut

$p_{n}=uv+{\frac {(1-u)\,(1-v)}{m-1}}$,