Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/123

même de ${\tfrac {1}{2}}\pi$. Si l’on fait ${g=h{\sqrt {-1}}}$, la nouvelle constante $h$ pourra être plus petite ou plus grande que l’unité. En désignant par $e$ la hase des logarithmes népériens, il en résultera

$y_{\infty }={\frac {2q}{2q+(1-q)\,(e^{h}+e^{-h})}}$ ;

et si $h$ ne surpasse pas l’unité, ou seulement si $h$ n’est pas un très grand nombre, cette probabilité $y_{\infty }$ ne sera pas très petite. Toutefois, il sera facile de s’assurer que la première valeur de $y_{\infty }$, sera toujours supérieure à la probabilité $q$ antérieure aux témoignages, et la seconde toujours inférieure.

Ces formules supposent que tous les témoignages soient directs ; nous examinerons tout à l’heure le cas ou un seul est direct, et tous les autres sont traditionnels.

(38). Quand un témoin ne se borne point à dire qu’une chose soit vraie ou fausse, mais qu’il atteste l’arrivée d’un événement, dans un cas où il y en avait plusieurs qui fussent possibles ; l’événement qu’il peut annoncer, quand il se trompe ou qu’il veut tromper, n’est point unique, et doit être seulement un de ceux qui n’ont point eu ou qu’il ne croit point avoir eu lieu ; or, cette circonstance influe, comme on va le voir, sur la probabilité de l’événement après le témoignage, indépendamment de celle qu’il avait auparavant.

Je suppose, pour fixer les idées, qu’une urne A renferme un nombre $\mu$ de boules, dont $a_{1}$ portent le n^o 1, $a_{2}$ le n^o 2,… $a_{m}$ le n^o $m$, de sorte qu’on ait

$\mu =a_{1}+a_{2}+a_{3}\ldots +a_{m}$,

et que $m$ soit le nombre de numéros différents que cette urne renferme ; si une boule en est sortie, on pourra aussi faire $m$ hypothèses différentes C₁, C₂, C₃,… C_$m$, sur le numéro de cette boule ; leurs probabilités avant aucun témoignage, étant désignées par $q_{1}$, $q_{2}$, $q_{3}$,… $q_{m}$, on aura

$q_{1}={\frac {a_{1}}{\mu }}$, $q_{2}={\frac {a_{2}}{\mu }}$, $\ldots q_{m}={\frac {a_{m}}{\mu }}$ ;