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que la probabilité de la vérité de ce fait était déjà $r$, indépendamment de la seconde attestation, on en conclura que l’expression de $r'$ doit se déduire de celle de $r$, par le changement de $p$ et $q$, en $p'$ et $r$ ; ce qui donne

$r'={\frac {p'r}{p'r+(1-p')\,(1-r)}}$,

ou bien, en mettant pour $r$ et ${1-r}$ leurs valeurs,

$r'={\frac {qpp'}{qpp'+(1-q)\,(1-p)\,(1-p')}}$.

Si le second témoin atteste la fausseté du fait dont la vérité a été affirmée par le premier, on remarquera qu’indépendamment du second témoignage, la probabilité que le fait est faux avait déjà ${1-r}$ pour valeur, en désignant donc par $r_{\prime }$ la probabilité de la fausseté du fait, résultante des deux attestations contraires, l’expression de $r_{\prime }$ devra se déduire de celle de $r$ du numéro précédent, par le changement de $p$ et $q$, en $p'$ et ${1-r}$, et de cette manière, on aura

$r_{\prime }={\frac {p'\,(1-r)}{p'\,(1-r)+r\,(1-p')}}$,

ou, ce qui est la même chose,

$r_{\prime }={\frac {p'\,(1-p)\,(1-q)}{p'(1-p)\,(1-q)+qp(1-p')}}$.

Dans le cas de ${p=p'}$, cette valeur de $r_{\prime }$ se réduit à ${1-q}$ ; et, en effet, les deux témoignages contraires et de même poids se détruisent, et la probabilité de la fausseté du fait doit demeurer la même qu’auparavant.

On déterminera de même, sans difficulté, la probabilité qu’un fait est vrai ou faux, lorsqu’il est attesté par des témoins et nié par d’autres, en nombre quelconque. Si le fait est attesté par tous les témoins à la fois, l’expression de la probabilité qu’il est vrai prendra la forme suivante.

Soit toujours, antérieurement à tous les témoignages, $q$ la probabilité que le fait est vrai ; désignons par $y_{x}$ ce que devient cette proba-