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La somme ${\textstyle \sum p_{n}}$ étendue à toutes les urnes pourra être remplacée par celle-ci ${\textstyle \sum a_{n}p_{n}}$ qui s’étendra à tous les groupes, ou à toutes les valeurs de l’indice $n$, depuis ${n=1}$ jusqu’à ${n=i}$. Si donc les urnes A_$n$, A_$n'$, A_$n''$, etc., forment un des groupes et sont en nombre $a_{n}$, la probabilité que la boule blanche extraite de l’une des $s$ urnes, soit sortie de ce groupe, aura pour valeur le rapport ${\tfrac {p_{n}}{\sum a_{n}p_{n}}}$, multiplié par $a_{n}$ ; en sorte qu’en la désignant par $\varpi _{n}$, nous aurons

$\varpi _{n}={\frac {a_{n}p_{n}}{\sum a_{n}p_{n}}}$.

Mais avant l’observation, la probabilité que la boule blanche ou noire qui serait extraite, sortirait de ce même groupe, était évidemment ${\tfrac {a_{n}}{s}}$ ; en la représentant par $q_{n}$, on aura donc

$a_{n}={\frac {a_{n}}{s}}$,$a_{n}=sq_{n}$ ;

et si l’on substitue cette valeur de $a_{n}$ dans celle de $\varpi _{n}$, et que l’on supprime le facteur $s$ qui sera commun au numérateur et au dénominateur, il en résultera

$\varpi _{n}={\frac {q_{n}p_{n}}{\sum q_{n}p_{n}}}$.

Cela posé, les différents groupes d’urnes que nous venons de considérer, représentent toutes les causes possibles C₁, C₂, C₃, etc., de l’événement E, dont le nombre est $i$, et qui étaient inégalement probables à priori. La fraction $q_{n}$ exprime la probabilité, avant l’observation, que l’événement qui arriverait serait dû à la cause C_$n$ ; après l’observation, $\varpi _{n}$ exprime la probabilité que l’événement E qui a eu lieu, a été produit par cette même cause ; et comme les causes C₁, C₂, C₃, etc., s’excluent mutuellement, $q_{n}$ et $\varpi _{n}$ sont les probabilités, antérieure et postérieure à l’observation, de l’existence de cette cause. L’expression de $\varpi _{n}$ montre donc que la probabilité de chacune des causes possibles d’un événement observé, est égale au produit de la probabilité $q_{n}$ de cette cause avant l’observation et de la probabilité $p_{1}$ qu’elle donnerait à cet événement, si elle était certaine, divisé par la