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en faisant pour abréger,

$3^{n}+2^{n+x}+2^{2n-x}=\mu$,

on aura donc

$\varpi _{1}={\frac {3^{n}}{\mu }}$,$\varpi _{2}={\frac {2^{n+x}}{\mu }}$,$\varpi _{3}={\frac {2^{2n-x}}{\mu }}$,

pour les probabilités de C₁, C₂, C₃. En prenant pour l’événement futur E′, l’extraction d’une nouvelle boule blanche, les probabilités de E′ relatives à ces trois hypothèses seront

$p'_{1}={\tfrac {1}{2}}$,$p'_{2}={\tfrac {2}{3}}$,$p'_{3}={\tfrac {1}{3}}$,

par conséquent, sa probabilité complète $\varpi '$ aura pour valeur

$\varpi '={\frac {{\frac {1}{2}}{.}3^{n}+{\frac {2}{3}}{.}2^{n+x}+{\frac {1}{3}}{.}\,2^{2n-x}}{3^{n}+2^{n+x}+2^{2n-x}}}$.

Dans le cas de ${n=2x}$, on aura

${\begin{aligned}\varpi _{1}&={\frac {9^{x}}{9^{x}+2{.}8^{x}}},\\\varpi _{2}&=\varpi _{3}={\frac {8^{x}}{9^{x}+2{.}8^{x}}},\\\varpi _{'}&={\frac {{\frac {1}{2}}{.}9^{x}+8^{x}}{9^{x}+2{.}8^{x}}}={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}$

La valeur de $\varpi '$ est 1/2, comme cela devait être ; car les boules blanches et noires étant sorties en même nombre de B, il n’y a pas de raison pour croire plutôt à l’arrivée d’une boule blanche qu’à celle d’une boule noire dans un nouveau tirage. Néanmoins, il faudra que 9^$x$ surpasse le double de 8^$x$, ou que $x$ soit plus grand que cinq, pour que l’on puisse parier plus d’un contre un, que le nombre de boules blanches est le même que celui des boules noires dans B, ou que cette urne renferme une boule blanche et une boule noire. La probabilité $\varpi _{1}$ de cette hypothèse diffère très peu de la certitude, lorsque $x$ est un très grand nombre.

Si $i$ est un nombre entier, et qu’on ait ${x=2i}$ et ${n=3i}$, il en ré-