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fractions (n^o 5), qui se réduit à ${\tfrac {1}{\mu }}s_{n}$, en faisant

$\mu ={\frac {m\,(m-1)\,(m-2)\,\ldots \,(m-n+1)}{1.2.3\ldots n}}$,

de sorte que $\mu$ soit le nombre des produits $n$ à $n$ des $m$ lettres $a$, $b$, $c$, $d$, etc., desquels $s_{n}$ est la somme.

On vérifie cette valeur ${\tfrac {1}{\mu }}s_{n}$, en observant que chacun de ces produits est la probabilité de tirer $n$ boules blanches de $n$ urnes déterminées, prises parmi A, B, C, D, etc., et que, par conséquent, la somme de tous ces produits divisée par leur nombre est la probabilité d’extraire $n$ boules blanches de $n$ de ces urnes, prises au hasard ; laquelle probabilité est évidemment la même que celle qu’il s’agissait d’obtenir. Dans le cas de ${n=m}$, on a $\mu =1$, et cette probabilité est $s_{m}$, ce qui résulte immédiatement de la règle du n^o 5.

(30). Maintenant, soit E′ un autre événement, différent de E, mais dépendant des mêmes causes que l’on a désignées par C₁, C₂, C₃, etc. Représentons par

$p'_{1}$, $p'_{2}$, $\ldots p'_{n}$, $\ldots p'_{m}$,

les chances de E′ relatives à ces diverses causes, de sorte que $p'_{n}$ soit la probabilité donnée que E′ arriverait si la cause C_$n$ était certaine ; cette cause étant seulement probable, et sa probabilité ayant été représentée par $\varpi _{n}$, l’arrivée de E′ en vertu de cette cause, sera un événement composé dont la chance aura pour expression le produit de ces deux probabilités (n^o 5). De plus, la probabilité complète de E′ sera la somme des chances relatives aux $m$ manières différentes dont cet événement peut avoir lieu (n^o 10), c’est-à-dire, la somme des valeurs de $p'_{n}\varpi _{n}$ qui se rapportent aux $m$ causes possibles C₁, C₂, C₃, etc., de E et de E′. En désignant par $\varpi '$ cette probabilité complète de E′, nous aurons donc

$\varpi '=p'_{1}\varpi _{n}+p'_{2}\varpi _{2}+\ldots +p'_{n}\varpi _{n}+\ldots +p'_{m}\varpi _{m}$,

ou bien, en mettant pour $\varpi _{1}$, $\varpi _{2}$, etc., leurs valeurs,

$\varpi '={\frac {p_{1}p'_{1}+p_{2}p'_{2}+\ldots +p_{n}p'_{n}+\ldots +p_{m}p'_{m}}{p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}+\ldots +p_{m}}}$.