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Ainsi, appelons

C₁, C₂, C₃,…C_$n$,…C_$m$,

les $m$ causes possibles de l’événement E ; soient

$p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$, $\ldots p_{n}$, $\ldots p_{m}$,

les probabilités connues de son arrivée, relatives à ces diverses causes ; de manière que $p_{n}$ exprime la probabilité de E qui aurait lieu si la cause C_$n$ était unique, ou, ce qui est la même chose, si elle était certaine, ce qui exclurait toutes les autres. Désignons ensuite par

$\varpi _{1}$, $\varpi _{2}$, $\varpi _{3}$, $\ldots \varpi _{n}$, $\ldots \varpi _{m}$,

les probabilités inconnues de ces mêmes causes ; en sorte que $\varpi _{n}$ soit la probabilité de la cause C_$n$, ou, autrement dit, la probabilité que c’est à cette cause qu’est due l’arrivée de E. Il s’agira de prouver qu’on doit avoir

$\varpi _{n}={\frac {p_{n}}{p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots +p_{n}+\ldots +p_{m}}}$.

Or, quel que soit l’événement E, on peut l’assimiler, pour fixer les idées, à l’arrivée d’une boule blanche, extraite d’une urne qui contenait des boules de cette couleur et des boules noires. On supposera, pour cette assimilation, qu’il y avait un nombre $m$ de semblables urnes

A₁, A₂, A₃,…A_$n$,…A_$m$,

dont la boule blanche a pu sortir, et telles que dans l’urne quelconque A_$n$, le rapport du nombre de boules blanches au nombre total de boules, soit égal à la fraction $p_{n}$. Chacune de ces urnes sur lesquelles la main a pu se porter au hasard pour en extraire la boule blanche, représente une des causes de son arrivée ; l’urne A_$n$ répond à la cause C_$n$ ; et la question consiste à déterminer la probabilité que la boule blanche est sortie de A_$n$.

Pour cela, supposons que l’on réduise les fractions $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$, etc., au même dénominateur, et que l’on ait ensuite

$p_{1}={\frac {\alpha _{1}}{\mu }}$,$p_{2}={\frac {\alpha _{2}}{\mu }}$, $\ldots p_{n}={\frac {\alpha _{n}}{\mu }}$, $\ldots p_{m}={\frac {\alpha _{m}}{\mu }}$ ;