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En effet, si $C$ est constant, la fonction $\varphi (T)$ introduite par l'intégration doit se réduire à une constante et, de plus, on doit avoir

${\frac {d\Theta T}{dT}}=B,$

$B$ étant aussi une constante. Il résulte

$\Theta T=B(T-T_{0}),\,$

et, si l'on se rapporte à l'expression que nous avons désignée par $\Theta$,

${\frac {1}{f'(T)}}=B(T-T_{0}).$

Par conséquent

(12)	$f'(T)={\frac {1}{B}}{\frac {1}{T-T_{0}}}$

et

$f(T)={\frac {1}{B}}\log(T-T_{0}).$

On a donc pour la fonction de Carnot

${\begin{aligned}f(T_{1},T_{2})&=f(T_{1})-f(T_{2})\\&={\frac {1}{B}}[\log(T_{1}-T_{0})-\log(T_{2}-T_{0})]\end{aligned}}$

ou

$f(T_{1},T_{2})={\frac {1}{B'}}\log({\frac {T_{1}}{T_{2}}}).$

Cette expression de la fonction, rigoureusement déduite des principes admis par Carnot, est inexacte. On sait aujourd'hui que cette fonction a pour expression

${\frac {T_{1}-T_{2}}{T_{1}}}.$