En effet, si
est constant, la fonction
introduite par l'intégration doit se réduire à une constante et, de plus, on doit avoir
![{\displaystyle {\frac {d\Theta T}{dT}}=B,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5820ce5fa010baac5ce561ac166a15b54f0089c)
étant aussi une constante. Il résulte
![{\displaystyle \Theta T=B(T-T_{0}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d821e70d07e4b03b6137501bddb06c698d45d0da)
et, si l'on se rapporte à l'expression que nous avons désignée par
,
![{\displaystyle {\frac {1}{f'(T)}}=B(T-T_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b751fc6212c5d5736e6c3cde2e468a352c7f992a)
Par conséquent
(12)
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et
On a donc pour la fonction de Carnot
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(T_{1},T_{2})&=f(T_{1})-f(T_{2})\\&={\frac {1}{B}}[\log(T_{1}-T_{0})-\log(T_{2}-T_{0})]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15916b1437c8c2ed8f6770ca0a036ebb96c0150f)
ou
Cette expression de la fonction, rigoureusement déduite des principes admis par Carnot, est inexacte. On sait aujourd'hui que cette fonction a pour expression
![{\displaystyle {\frac {T_{1}-T_{2}}{T_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359dbaa15a8b8f4b35480c895d8ccff79aa348b6)