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Le travail accompli quand le corps décrit le cycle est égal à la surface de ce cycle que l'on peut assimiler à un parallélogramme ; on a donc

$\tau =\delta p\,dv-\delta v\,dp.$

La quantité de calorique $dQ$ empruntée à la source chaude le long de l'isotherme AB est, par suite de l'hypothèse de l'indestructibilité du calorique, une différentielle exacte (28) ; par conséquent

(1)

$dQ={\frac {dQ}{dv}}dv+{\frac {dQ}{dp}}dp.$

(1)

La température ne variant pas le long de AB, nous avons

(2)

$dT=0={\frac {dT}{dv}}dv+{\frac {dT}{dp}}dp.$

(2)

L'adiabatique AD nous fournit les deux équations

(3)

$dQ=0={\frac {dQ}{dv}}\delta v+{\frac {dQ}{dp}}\delta p,$

(3)

(4)

$\delta T={\frac {dT}{dv}}\delta v+{\frac {dT}{dp}}\delta p.$

(4)

Multiplions l'équation (1) par la dernière, l'équation (2) par la troisième, et retranchons ; nous obtenons

$dQ\,\delta T=(\delta p\,dv-\delta v\,dp)\left({\frac {dQ}{dv}}{\frac {dT}{dp}}-{\frac {dQ}{dp}}{\frac {dT}{dv}}\right).$

ou

(5)

$dQ\delta T=\tau \left({\frac {dQ}{dv}}{\frac {dT}{dp}}-{\frac {dQ}{dp}}{\frac {dT}{dv}}\right).$

(5)

Mais, d'après l'expression trouvée précédemment (43)