force vive d’un système est égale à la somme des travaux accomplis par toutes les forces du système pendant le déplacement considéré.
7. La conservation de l’énergie
Bornons-nous au cas d’un système soumis seulement à des forces intérieures et supposons que ces forces admettent une fonction des forces, c’est-à-dire que
,
,… soient les dérivées partielles par rapport aux coordonnées d’une même fonction
de ces coordonnées ; nous avons alors
![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}=-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}_{i},\qquad \mathrm {Y} _{i}=-{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}_{i},\qquad \mathrm {Z} _{i}=-{\frac {d\mathrm {V} }{dz}}_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b99966ce497a8d997a803395d8137824d3cffe28)
Mais,
ne dépendant pas explicitement du temps, par hypothèse, sa dérivée par rapport à
est
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{dt}}=\sum \left({\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dt}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dz_{i}}}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cc100ecedd7ff6eda0b22c99283d01d5c2c7b5)
et par conséquent
![{\displaystyle d\mathrm {V} =-\sum (\mathrm {X} _{i}dx_{i}+\mathrm {Y} _{i}dy_{i}+\mathrm {Z} _{i}dz_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fedad564560849642a3df709a8c76e7f6862f9)
Il résulte de cette expression que la variation de la fonction des forces est égale, au signe près, à celle de la demi-force vive ; nous avons donc
![{\displaystyle d\mathrm {W} +d\mathrm {V} =0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1b0427a44f57d128af85c4b8a816354f2b22a8)
et en intégrant
![{\displaystyle \mathrm {W} +\mathrm {V} ={\rm {{const.}\,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82649fabdaa6b40d62a969c3fcd5d0c41bf7c36e)