extérieures qui agissent sur chacun des points. Les équations du mouvement de l'un d'eux sont
![{\displaystyle {\begin{aligned}m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}&=\mathrm {X} _{i},\\m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}&=\mathrm {Y} _{i},\\m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}&=\mathrm {Z} _{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d64e912659f24fd27f1f60fe1dc0b04841b9ea)
La demi-force vive du système a pour valeur
![{\displaystyle \mathrm {W} =\sum {\frac {m_{i}}{2}}\left[\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz_{i}}{dt}}\right)^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d89bcf9c23e984ea0ae990b6b5d8061eaefd4ae)
En dérivant par rapport au temps, il vient
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {W} }{dt}}=\sum m_{i}\left({\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}+{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}{\frac {dy_{i}}{dt}}+{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a704ce496d66765c79337a5372e14f648f294bd)
et, en remplaçant dans cette expression les dérivées secondes par rapport au temps par leurs valeurs tirées des équations du mouvement, on obtient
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {W} }{dt}}=\sum \left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99b192cdbf210a06d90d6f31b13202c3453619b)
ou
![{\displaystyle d\mathrm {W} =\sum (X_{i}dx_{i}+Y_{i}dy_{i}+Z_{i}dz_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c32b42550732799666856558a9bff5743f5f172)
Le second membre de cette égalité représente le travail de toutes les forces appliquées au système quand leurs points d'application subissent des déplacements infiniment petits. De là le théorème suivant : La variation de la demi-