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Enfin l’énergie cinétique sensible a pour expression

$W=\int {{\frac {dm}{2}}\left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)}.$

87. Écrivons les équations du mouvement du fluide.

Si le fluide était en repos, nous aurions, d’après les équations fondamentales de l’Hydrostatique,

${\frac {dp}{dx}}=\rho X,\quad {\frac {dp}{dy}}=\rho Y,\quad {\frac {dp}{dz}}=\rho Z,$

$X\,dm,\ Y\,dm,\ Z\,dm$ étant les composantes suivant les axes des forces extérieures agissant sur l’élément dm. Par conséquent, les équations du mouvement seront, d’après le principe de d’Alembert,

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dx}}=\rho X-\rho {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\\{\frac {dp}{dy}}=\rho Y-\rho {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\\{\frac {dp}{dz}}=\rho Z-\rho {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},\end{aligned}}$

ou, en remplaçant ρ par ${\frac {1}{\nu }}$ et remarquant que, le fluide n’étant soumis qu’à l’action de la pesanteur, $X=Y=0$, $Z\,dm=-g\,dm,$

${\begin{aligned}&\nu {\frac {dp}{dx}}=-{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\\&\nu {\frac {dp}{dy}}=-{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\\&\nu {\frac {dp}{dz}}=-{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-g.\end{aligned}}$

88. Au moyen de ces équations transformons l’expression du travail dτ des forces extérieures.