,
, et celles de E,
,
,
. Après le déplacement,
les coordonnées de A sont
,
,
; celles de E,
![{\displaystyle {\begin{aligned}x+dx&+\xi +{\frac {d\xi }{dx}}dx,\\y&+\eta +{\frac {d\eta }{dx}}dx,\\z&+\zeta +{\frac {d\zeta }{dx}}dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdcdd833a72675fcc798bd7d138d40850c9e7cdc)
Par conséquent, les projections de l’arête AE sont, après le déplacement,
![{\displaystyle dx\left(1+{\frac {d\xi }{dx}}\right),\quad dx{\frac {d\eta }{dx}},\quad dx{\frac {d\zeta }{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37906ea1b09a0fcd45f8e14fceede22ea609ab8d)
Si nous écrivons par analogie les projections des autres
arêtes, nous obtenons, pour le volume du parallélépipède
déformé,
![{\displaystyle (v+\varphi )dm={\begin{vmatrix}dx\left(1+{\frac {d\xi }{dx}}\right)&dy{\frac {d\xi }{dy}}&dz{\frac {d\xi }{dz}}\\dx{\frac {d\eta }{dx}}&dy\left(1+{\frac {d\eta }{dy}}\right)&dz{\frac {d\eta }{dz}}\\dx{\frac {d\zeta }{dx}}&dy{\frac {d\zeta }{dy}}&dz\left(1+{\frac {d\zeta }{dz}}\right)\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15a29b054326612cdf70fe56b6bde6c43d7bc07)
En effectuant les opérations puis divisant par
nous obtenons, en négligeant les carrés et les produits de
,
,
et de leurs dérivées,
![{\displaystyle {\frac {\varphi }{v}}=\xi '_{x}+\eta '_{y}+\zeta '_{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2058a40db768eab1a7e8cde7b9dcc996cf7ea7a)
Portons cette valeur dans la relation (1), il vient :
(3)
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