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LIQUIDE RENFERMÉ ENTRE DEUX CYLINDRES

les cloisons existaient avec le seul tube tourbillonnaire A. Nous calculerons cette vitesse en faisant la somme des vitesses dues à chaque tube séparément. Nous obtiendrons ainsi une série, et il s’agit de savoir si cette série est convergente.

D’après les relations :

${\begin{aligned}\mathrm {OA} _{0}.\mathrm {OB} _{0}&=\mathrm {R} '^{2}\\\mathrm {OA} _{1}.\mathrm {OB} _{1}&=\mathrm {R} ^{2}\end{aligned}}$

on a :

${\frac {\mathrm {OB} _{1}}{\mathrm {OB} _{0}}}=\left({\frac {\mathrm {R} }{\mathrm {R} '}}\right)^{2}.$

De même :

${\frac {\mathrm {OB} _{2}}{\mathrm {OB} _{1}}}=\left({\frac {\mathrm {R} }{\mathrm {R} '}}\right)^{2},\ {\text{etc.}}$

D’une façon générale :

(1)

$\mathrm {OB} _{n}=\mathrm {OB} _{0}\left({\frac {\mathrm {R} }{\mathrm {R} '}}\right)^{2n}.$

On démontrerait de la même manière que :

(2)

$\mathrm {OA} _{n}=\mathrm {OA} _{0}\left({\frac {\mathrm {R} }{\mathrm {R} '}}\right)^{2n}.$

Groupons les termes de la série comme il suit :

1^o Les termes relatifs aux tubes A affectés d’indices négatifs ; la somme de ces termes forme une série. Quand l’indice $n$ devient très grand, le point $\mathrm {A} _{n}$ devient très éloigné, la vitesse communiquée à un point $\mathrm {M}$ par ce tube devient très petite, de l’ordre de ${\tfrac {1}{\mathrm {MA} _{-n}}}.$ Si le point $\mathrm {A} _{n}$ est très éloigné, la différence $\mathrm {OA} _{n}-\mathrm {MA} _{-n}$ est négligeable et la vitesse est de l’ordre de grandeur de ${\tfrac {1}{\mathrm {OA} _{-n}}}.$ La distance $\mathrm {OA} _{-n}$ croît suivant