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THÉORÈME DES FORCES VIVES

76. Théorème. — La somme des moments des quantités de mouvement par rapport à l’axe des $z$ est constante. Si $f$ est une fonction homogène du premier degré, le théorème d’Euler donne :

$x{\frac {df}{dx}}+y{\frac {df}{dy}}+z{\frac {df}{dz}}=f.$

ou :

$\sum x{\frac {df}{dx}}=f.$

ou enfin :

$\sum x{\frac {d\log f}{dx}}=1.$

Appliquons à la fonction $\mathrm {P} .\rho _{ik}$ est une fonction homogène du premier degré de $x_{i},$ $y_{i}\ ;$ et $x_{k},$ $y_{k},$ les autres coordonnées, n’y entrent pas. Par conséquent

$x_{i}{\frac {d\log \rho _{i,k}}{dx_{i}}}+y_{i}{\frac {d\log \rho _{i,k}}{dy_{i}}}+\ldots =1,$

ou en multipliant tous les termes par $m_{i}m_{k}\ :$

$\sum \left(x_{p}{\frac {dm_{i}m_{k}\log \rho _{i,k}}{dx_{p}}}+y_{p}{\frac {d_{i}m_{k}\log \rho _{ik}}{dy_{p}}}\right)=m_{i}m_{k}$

la sommation étant étendue à toutes les valeurs de $p,$ de 1 à $n.$ Ensuite il faut prendre toutes les combinaisons possibles de $i$ et $k,$ et faire la somme ; ce qui donne :

$\sum \left(x_{p}{\frac {d\mathrm {P} }{dx_{p}}}+y_{p}{\frac {d\mathrm {P} }{dy_{p}}}\right)=\sum m_{i}m_{k}.$

D’après les équations (1) [68], cette relation équivaut à :

(10)

$\sum m_{p}\left(x_{p}{\frac {dy_{p}}{dt}}-y_{p}{\frac {dx_{p}}{dt}}\right)=\sum m_{i}m_{k}.$