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THÉORÈME DES FORCES VIVES
76. Théorème. — La somme des moments des quantités de
mouvement par rapport à l’axe des
est constante. Si
est
une fonction homogène du premier degré, le théorème
d’Euler donne :
![{\displaystyle x{\frac {df}{dx}}+y{\frac {df}{dy}}+z{\frac {df}{dz}}=f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f742fb20af5b4eb92ab412523c5056aaceb74f4)
ou :
![{\displaystyle \sum x{\frac {df}{dx}}=f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5224aa186df9a8483b3af45d89f53f7e0b4044c)
ou enfin :
![{\displaystyle \sum x{\frac {d\log f}{dx}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7416f0acb9bf97b1d0228bc8596ff6653167c395)
Appliquons à la fonction
est une fonction homogène
du premier degré de
et
les autres coordonnées,
n’y entrent pas. Par conséquent
![{\displaystyle x_{i}{\frac {d\log \rho _{i,k}}{dx_{i}}}+y_{i}{\frac {d\log \rho _{i,k}}{dy_{i}}}+\ldots =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6a3fc2b4d3cc6e858f912746dd20e43788183c)
ou en multipliant tous les termes par
![{\displaystyle \sum \left(x_{p}{\frac {dm_{i}m_{k}\log \rho _{i,k}}{dx_{p}}}+y_{p}{\frac {d_{i}m_{k}\log \rho _{ik}}{dy_{p}}}\right)=m_{i}m_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67912c640c1f734aceeda3735b7edffccf7c19a)
la sommation étant étendue à toutes les valeurs de
de 1 à
Ensuite il faut prendre toutes les combinaisons possibles de
et
et faire la somme ; ce qui donne :
![{\displaystyle \sum \left(x_{p}{\frac {d\mathrm {P} }{dx_{p}}}+y_{p}{\frac {d\mathrm {P} }{dy_{p}}}\right)=\sum m_{i}m_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb0373a4f84ff691470c82492035310cddd6055)
D’après les équations (1) [68], cette relation équivaut à :
(10)
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