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THÉORÈME DES FORCES VIVES
Considérons l’intégrale :
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Prise le long d’un cercle de rayon très grand, cette intégrale
est nulle, puisque nous avons supposé [72] que la somme
algébrique des moments de tous les tubes est nulle ; il arrive
alors que
et
sont du second ordre, la longueur de la circonférence étant infiniment grande du premier ordre seulement. Transformons-la par le théorème de Stokes :
![{\displaystyle \int \left({\frac {d\left(\psi v\right)}{dx}}-{\frac {d\left(\psi u\right)}{dy}}\right)d\omega =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744126284a592fdfb6ac51787ce615d02b4892cb)
ou en effectuant les différentiations :
![{\displaystyle \int \psi \left({\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}\right)d\omega +\int \left(v{\frac {d\psi }{dx}}-u{\frac {d\psi }{dy}}\right)d\omega =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb80d16e6e60aab6bfee5a6bd7045484e511a37)
Or :
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\zeta ={\frac {dv}{dx}}-{\frac {du}{dy}}\\{\frac {d\psi }{dx}}=v\qquad {\frac {d\psi }{dy}}=-u.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68da6b9497597dd0eab23a585cb11767173a4275)
Donc :
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représente donc, à un facteur constant près, la force
vive
et par conséquent cette force vive est constante.