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MOUVEMENT DES TUBES TOURBILLONNAIRES

ou :

(5)

$\mathrm {P} =\iint {\frac {\zeta \zeta 'd\omega d\omega '\log \rho }{\pi ^{2}}},$

l’intégrale étant calculée en prenant toutes les combinaisons deux à deux des éléments $d\omega$ et $d\omega ',$ chacune étant prise une seule fois. Soient $x,$ $y$ et $x',$ $y'$ les coordonnées des centres de gravité des éléments $d\omega$ et $d\omega '\ ;$ la valeur de $\psi$ au point $(x,y)$ sera :

$\psi =\int dm'\log \rho =\int {\frac {\zeta 'd\omega '\log \rho }{\pi }}.$

D’autre part :

$2\pi ^{2}\mathrm {P} =\iint \zeta \zeta 'd\omega d\omega '\log \rho ,$

l’intégrale étant étendue à toutes les combinaisons $(d\omega ,d\omega '),$ chacune d’elles étant ainsi prise deux fois, donc :

(6)

$2\pi ^{2}\mathrm {P} =\pi \int \zeta \psi d\omega .$

73. Nous aurions pu écrire cette formule immédiatement, en nous reportant à la comparaison électrostatique [62].

Si, en effet, nous considérons $dm,dm'$ comme des masses électriques répandues sur les éléments $d\omega ,d\omega ',$ la fonction $\psi$ représentera, à un facteur constant près, le potentiel électrostatique et $\mathrm {P}$ représentera l’énergie électrostatique. On sait qu’entre ces deux fonctions existe une relation de la forme (6).

74. Remplaçons $2\zeta$ par sa valeur dans l’expression de $\mathrm {P} ,$ il vient :

$4\pi \mathrm {P} =\int 2\zeta \psi d\omega =\int \left({\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{dy}}\right)\psi d\omega .$