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71. Théorème des forces vives. — Multiplions les deux membres des équations (1) respectivement par opérons de même sur toutes les équations analogues et ajoutons, il vient :


ou :

Donc :

(4)

Cette relation exprime le théorème des forces vives. Ceci ne s’aperçoit pas immédiatement, et nous avons à lever plusieurs difficultés. D’après nos hypothèses, en effet, la force vive serait infinie, pour trois raisons :

1o Le liquide est indéfini dans tous les sens. Mais nous avons vu qu’en introduisant deux cloisons planes solides, perpendiculaires à l’axe on ne modifie pas le mouvement. Nous pouvons donc nous borner à considérer le liquide compris entre ces deux plans.

2o Même avec cette restriction, la force vive serait encore infinie, puisque le liquide s’étend indéfiniment dans le plan des Les composantes et de la vitesse tendent vers 0, quand on s’éloigne indéfiniment, sur une circonférence dont le rayon est regardé comme un infiniment grand du premier ordre ; et sont infiniment petits du premier ordre [62] : la force vive élémentaire serait infiniment petite du second ordre, mais la surface du cercle étant un infiniment grand du second ordre, la force vive totale serait infinie. En appelant la somme des moments de tous les tubes tourbillon-