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INTÉGRATION DES ÉQUATIONS

68. D’une manière générale, nous obtiendrons donc les équations suivantes :

(1)

${\begin{aligned}m_{k}{\frac {dx_{k}}{dt}}&=-{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial y_{k}}}\\m_{k}{\frac {dy_{k}}{dt}}&={\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial x_{k}}}\end{aligned}}$

Sous cette forme on reconnaît les équations canoniques d’Hamilton au facteur $m_{k}$ près ; pour les ramener exactement à la forme canonique, il suffirait de prendre comme variables :

$x_{1},x_{2},\,\ldots ,x_{n}$ et $m_{1}y_{1},m_{2}y_{2},\,\ldots ,m_{n}y_{n}.$

69. Intégration des équations. — L’intégration des équations (1) est possible quand il existe seulement trois tubes tourbillonnaires, comme nous allons le montrer.

70. Théorème. — Nous pouvons retrouver d’abord le théorème de la conservation du centre de gravité. En effet, la fonction $\mathrm {P}$ dépend seulement des distances $\rho$ et seulement, par conséquent, des différences $x_{1}-x_{2},\ldots ,y_{1}-y_{2},\ldots ,\,$ etc. Donc :

${\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial y_{1}}}+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial y_{2}}}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial y_{n}}}=0.$

soit :

(3)

$\sum {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial y_{k}}}=0\quad$ ou :$\quad \sum m_{k}{\frac {dx_{k}}{dt}}=0$

$\sum m_{k}x_{k}={\textrm {const.}}$

De même :

$\sum m_{k}y_{k}={\textrm {const.}}$

Le centre de gravité du système reste donc fixe.