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MOUVEMENT DES TUBES TOURBILLONNAIRES

Il faut déterminer ${\tfrac {dx_{1}}{dt}}$ et ${\tfrac {dy_{1}}{dt}}\ ;$ nous venons de voir que la vitesse du point $x_{1},$ $y_{1}$ sera la même que si le tube $a_{1}$ était supprimé et si les autres tubes subsistaient seuls ; nous aurons donc, d’après les équations (13) [61] :

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=-{\frac {\partial \psi }{\partial y_{1}}}\\{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\end{aligned}}$

où

$\psi =\sum m_{k}\log \rho _{1,k}.$

Je dis que ces formules équivalent aux suivantes :

${\begin{aligned}m_{1}{\frac {dx_{1}}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {P} _{1}}{\partial y_{1}}}\\m_{1}{\frac {dy_{1}}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {P} _{1}}{\partial x_{1}}}.\end{aligned}}$

En effet, $\mathrm {P}$ peut s’écrire :

$\mathrm {P} =m_{1}\sum m_{k}\log \rho _{1k}+\sum m_{i}m_{k}\log \rho _{i,k},$

aucun des indices $i$ et $k$ dans le second terme n’étant égal à 1.

D’autre part, les $\rho$ affectés de l’indice 1 sont les seuls qui dépendent de $x_{1}$ et $y_{1},$ donc :

${\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial x_{1}}}=m_{1}{\frac {\partial \left(\sum m_{k}\log \rho _{1k}\right)}{\partial x_{1}}}=m_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}},$

de même :

${\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial y_{1}}}=m_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial y_{1}}}.$