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THÉORÈME DE LA CONSERVATION DU CENTRE DE GRAVITÉ

dimensions finies, on définirait $x_{0},$ $y_{0},$ d'une manière analogue.

$x_{0}\int 2\zeta d\omega =\int 2x\zeta d\omega$

· · · · · · · · · · etc.,

les intégrales étant étendues à tous les éléments $d\omega$ des sections des différents tubes.

Différentions par rapport à $t\ :$ puisque nous avons assujetti les moments des tubes à demeurer constants, $\zeta$ et $\omega$ ne dépendent pas de $t$ [57], et:

(1)

${\frac {dx_{0}}{dt}}\int \zeta d\omega =\int {\frac {dx}{dt}}\zeta d\omega =\int u\zeta d\omega .$

Je veux établir que cette dernière intégrale est nulle. Pour cela, je considère l'intégrale :

$\int \left[\left(u^{2}-v^{2}\right)dx+2uvdy\right]$

prise tout le long d'un cercle de rayon très grand. Cette intégrale est nulle. En effet, pour $\mathrm {R}$ très grand, $u$ et $v$ sont infiniment petits du premier ordre [62] ; $u^{2},$ $v^{2},$ $uv$ sont infiniment petits du second ordre ; le chemin d'intégration est bien infiniment grand, mais du premier ordre seulement; l’intégrale est donc négligeable.

D’autre part, transformons cette intégrale d’après la formule (1) du § 8 :

$\int \left[\left(u^{2}-v^{2}\right)dx+2uvdy\right]=\int d\omega \left[{\frac {\partial \left(u^{2}-v^{2}\right)}{\partial y}}-{\frac {2\partial (uv)}{\partial x}}\right]$