Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/78

70

DÉTERMINATION DES COMPOSANTES DE LA VITESSE

points $a_{1},$ $a_{2},\ldots$ $a_{n}$ agissent sur le point M en raison inverse de la distance.

Si nous considérons des tubes tourbillonnaires distribués d’une manière quelconque et un point M très éloigné, la distance étant infiniment grande du premier ordre, l’attraction (ou la vitesse) sera infiniment petite du premier ordre.

63. Les courbes $\varphi ={\textrm {const}},$ c’est-à-dire suivant lesquelles l’argument de $e^{\theta \left(\mathrm {Z} \right)}$ est constant, sont les lignes qui sont normales à la vitesse en chacun de leurs points. En effet, pour ces courbes :

$d\varphi =udx+vdy=0.$

Les courbes $\psi ={\textrm {const}},$ c’est-à-dire le long desquelles la partie réelle de ou le module de $e^{\theta \left(\mathrm {Z} \right)}$ sont constants, sont les lignes de courant. Le long de ces courbes, en effet :

$vdx-udy=0,$

ou

${\frac {dx}{u}}={\frac {dy}{v}}.$

En électrodynamique, les équations $\varphi ={\textrm {const}}$ représentent les lignes équipotentielles, et les équations $\psi ={\textrm {const}},$ les lignes de force ; c’est l’inverse en électrostatique.

Ces deux systèmes de courbes se coupent à angle droit.

64. Cas particulier de deux tubes tourbillonnaires. — S’il y a seulement deux tubes tourbillonnaires $a_{1}$ et $a_{2},$ $\theta (\mathrm {Z} )$ ne renferme que deux termes :

$\theta \left(\mathrm {Z} \right)=m_{1}\log \left(\mathrm {Z} -a_{1}\right)+m_{2}\log \left(\mathrm {Z} -a_{2}\right).$