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CAS PARTICULIER

Différentions cette identité par rapport à $\mathrm {Z} ,$ en remarquant que

${\begin{aligned}\qquad &{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}}=1\qquad {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}={\sqrt {-1}}\\\theta '\left(\mathrm {Z} \right)&=v+{\sqrt {-1}}u={\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\sqrt {-1}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\\theta '\left(\mathrm {Z} \right)&={\sqrt {-1}}v-u={\frac {\partial \psi }{\partial y}}+{\sqrt {-1}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}.\end{aligned}}$

D’où, en identifiant :

(13)

$v={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\qquad u=-{\frac {\partial \psi }{\partial y}}$

(14)

$u={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\qquad v={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}.$

D’après les relations (14), on voit que $\varphi$ est la fonction des vitesses.

62. 3^o Comparaison électrostatique. — Supposons que de l’électricité soit distribuée uniformément sur une droite indéfinie : l’attraction de cette droite électrisée sur un point extérieur est en raison inverse de la distance.

Remplaçons le tube tourbillonnaire par une distribution d’électricité uniforme sur son axe. L’attraction sur un point M serait dirigée suivant la normale menée de M à l'axe.

La vitesse serait représentée par le même vecteur qu’on aurait fait tourner de 90 degrés. S’il y a plusieurs tubes, on fera la même transformation : on composera les attractions partielles, et la vitesse résultante sera représentée par la résultante de ces attractions quand on l’aura fait tourner de 90 degrés.

On arriverait au même résultat en supposant que les