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DÉTERMINATION DES COMPOSANTES DE LA VITESSE

moments de ces tubes ; si $a_{1},$ $a_{2}$ ont pour coordonnées $a'_{1},$ $a''_{1},$ $a'_{2},$ $a''_{2},\ldots$ ces point seront les affixes des quantités imaginaires :

${\begin{aligned}a_{1}&=a'_{1}+{\sqrt {-1}}a''_{1}\\a_{2}&=a'_{2}+{\sqrt {-1}}a''_{2}.\end{aligned}}$

Pour obtenir la valeur de $v+{\sqrt {-1}}u$ correspondant au premier tube $a_{1},$ il suffira de prendre la formule (9) en transportant l’origine au point $a_{1},\ldots$ de même pour les autres tubes la valeur totale de $v+{\sqrt {-1}}u$ sera la somme des valeurs partielles ainsi obtenues :

$v+{\sqrt {-1}}u={\frac {m_{1}}{\mathrm {Z} -a_{1}}}+{\frac {m_{2}}{\mathrm {Z} -a_{2}}}+\ldots +{\frac {m_{n}}{\mathrm {Z} -a_{n}}}=\sum {\frac {m_{k}}{\mathrm {Z} -a_{k}}}$

Cette expression est la dérivée de la fonction :

$\theta \left(\mathrm {Z} \right)=\sum m_{k}\log \left(\mathrm {Z} -a_{k}\right).$

Soit M le point qui est l’affixe de $\mathrm {Z} ,$ $\rho _{1}$ la distance $\mathrm {M} a_{1},$ ou le module de $\mathrm {Z} -a_{1}.$ De même $\rho _{2}=\mathrm {M} a_{2},\ldots$ $\rho _{n}=\mathrm {M} a_{n}.$ Soit $\omega _{1}$ l’argument de $\mathrm {Z} -a_{1}\ ;$ c’est l’angle que fait $\mathrm {M} a_{1}$ avec $\mathrm {O} x\ldots$ etc.

$\theta \left(\mathrm {Z} \right)=\sum m_{k}\log \rho _{k}+{\sqrt {-1}}\sum m_{k}\omega _{k}$

ou en posant :

(10)

$\psi =\sum m_{k}\log \rho _{k}$

(11)

$\varphi =\sum m_{k}\omega _{k}$

(12)

$\theta \left(\mathrm {Z} \right)=\psi +{\sqrt {-1}}\varphi .$